Bases Y Dimensiones

BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición.- Un conjunto finitos de vectores es una base para un espacio vectorial V si:

• Todo conjunto de vectores linealmente independiente en es una base de .

EJEMPLOS

Sea . Encuentre una base para el conjunto de vectores que están en el plano.

TEOREMA

Si es una base para V y si , entonces existe un conjunto único de escalares tales que:

DEMOSTRACION

Por tanto para cada vector , existe un conjunto único de escalares, tales que, cualquier vector se lo puede expresar como una combinación lineal del conjunto único.

TEOREMA

Sea y , m vectores de V. Si , entonces es linealmente dependiente.

En un sistema homogéneo de n ecuaciones con m variables, cuando el conjunto tiene infinitas soluciones, por lo tanto es linealmente dependiente.

DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición.- Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. La dimensión de V se la denota como: dim V.

EJEMPLOS:

• Todo espacio vectorial que tenga un subespacio de dimensión infinita es también de dimensión infinita.

• Si W es un subespacio de V y , entonces:

EJERCICIOS:

Determine una base para el espacio generador . Encuentre su dimensión.

Determine una base para el espacio generador . Encuentre su dimensión.

Ejercicios:

1.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, en caso de ser verdaderas, demuestrelas y en el caso de ser falsas de un contraejemplo.

a) Sea un conjunto generador de V y un conjunto linealmente dependiente en V, entonces

b) Todo conjunto generador de un espacio vectorial de dimension n, tiene exactamente n vectores.

c) El conjunto es linealmente independiente en V si y solo si y no son multiplos escalares

d) Si es una base de un espacio vectorial V, entonces es un conjunto generador de V.

e) El conjunto es una base del espacio vectorial

f) Sean y dos subespacios de V, entonces

g) Si y entonces una base de W es

h) Si es un conjunto linealmente independiente de vectores de V, es una base de S.

i) Sea y . Si H=U entonces el conjunto es linealmente dependiente

2.- Sea H un subespacio del espacio vectorial .Sea:

un conjunto generador de H.

a)Determine si los vectores son linealmente independientes

b)En caso de ser linealmente independientes, complete un base para

3.- Determine las dimensiones de los siguientes espacios vectoriales

a) El conjunto de vectores en

b) El conjunto de las matrices simetricas de n por n

c) El conjunto de las matrices antisimetricas de n por n

d) El conjunto de los numeros complejos

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