Bases Y Dimensiones

BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición.- Un conjunto finitos de vectores es una base para un espacio vectorial V si:

• Todo conjunto de vectores linealmente independiente en es una base de .

EJEMPLOS

Sea . Encuentre una base para el conjunto de vectores que están en el plano.

TEOREMA

Si es una base para V y si , entonces existe un conjunto único de escalares tales que:

DEMOSTRACION

Por tanto para cada vector , existe un conjunto único de escalares, tales que, cualquier vector se lo puede expresar como una combinación lineal del conjunto único.

TEOREMA

Sea y , m vectores de V. Si , entonces es linealmente dependiente.

En un sistema homogéneo de n ecuaciones con m variables, cuando el conjunto tiene infinitas soluciones, por lo tanto es linealmente dependiente.

DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición.- Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. La dimensión de V se la denota como: dim V.

EJEMPLOS:

• Todo espacio vectorial que tenga un subespacio de dimensión infinita es también de dimensión infinita.

• Si W es un subespacio de V y , entonces:

EJERCICIOS:

Determine una base para el espacio generador . Encuentre su dimensión.

Determine una base para el espacio generador . Encuentre su dimensión.

Ejercicios:

1.- Califique cada

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