CLASE 01 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN DINAMICA

CLASE 01

INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN DINAMICA.

Diversos problemas económicos se formulan mediante procesos matemáticos, durante nuestros estudios  nos hemos familiarizado con las variables siguientes:

P: Precio de un producto.

Q: cantidad de un producto

B: Beneficio en una empresa

K: Capital asignado a un determinado proceso.

L: Mano de obra asignado en la transformación  de un recurso en un producto manufacturable

T: tiempo asignado en el proceso de transformación de un recurso.

P: Precio de un producto

V: Velocidad.

A: Aceleración.

F: Fuerza.

Además tenemos procesos funcionales, tales como:

P=f(q): El precio en función de la cantidad.

U =F(q): Utilidad en función de la cantidad producida.

U=f(C) : La utilidad en función del consumo

B=f(q): El beneficio en función de la cantidad.

C=f(q): Costo de un producto en función de la cantidad producida.

C=f(y,p,m,g,t): El consumo en función del ingreso, la publicidad, la moda, el gusto y la tecnología.

P=f(t,Q,K,L,T): La producción en función del tiempo, la cantidad, el capital , la mano de obra y la tecnología.

 Max {U]= f(x1,x2,x3,…,xn): La producción en función de los componentes del proceso de producción; sujeto a la restricción g(xi)=  g(x1,x2,x3,x4,…,xn), además las condiciones de no negatividad  para xi≥0,i=1,2,3,…,n.

En este proceso se tiene en cuenta tres momentos.

Max{U}: función objetivo.

G(xi): Restricciones de la variable de decisión.

xi≥0 : condiciones de  no negatividad.

En todo problema económico: Un agente toma decisiones, luego considera las consecuencias sobre su bienestar fututo. Ejemplos.

Decisiones de ahorro en los individuos.

Decisiones de inversión en las empresas.

Decisiones de  endeudamiento  de un gobierno.

En los ejemplos anteriores el agente optimizador toma  en cuenta  el efecto futuro de sus decisiones presentes.

Analizamos este problema considerando el consumo C en dos tiempos, f(t1,t2), donde t1: tiempo presente y t2 es tiempo futuro, y hay un solo bien de consumo         C en la economía que tiene un precio igual a l unidades monetarias (u.m.) en el presente, pero decide no trabajar en el futuro, por lo que no recibirá ingresos  en dicho periodo.

 Además este individuo vive dos periodos y valora tanto el consumo presente C1 como el consumo futuro C2, sin embargo el consumidor presenta cierto grado de impaciencia  y tiene una mayor utilidad  si consume en el presente, que si consume en el futuro.

La función de utilidad que refleja estas preferencias  esta dado por:

[pic 1]

Esta función se considera como una suma ponderada  de las utilidades asociada a cada periodo; mientras la  utilidad proveniente del primer periodo tiene prioridad igual a 1, la del segundo periodo tiene ponderación 0 < β < 1 (β tiene un valor  menor que 1, β se denomina factor de descuento).

β: Refleja el grado de impaciencia intertemporal del individuo, analizando cada momento tenemos:

Si  β = 0, entonces el individuo es totalmente impaciente y valora solo el consumo presente (se denomina decisiones miopes; no recomendadas)

Si  β = 1, entonces el individuo le daría el mismo grado de importancia al consumo presente  y al consumo futuro.

Nota:

a. La función de utilidad (01) es aditiva  con respecto al tiempo, esto es

                       [pic 2] 

b.  La restricción intertemporal limita la decisión del agente a que no consuma más de lo que pueda adquirir con sus recursos, sin embargo de acuerdo a la existencia de la variable temporal, el ingreso y el consumo en cada periodo no son compatibles directamente en la restricción complementaria, esto se debe al valor que posee el dinero en el tiempo. Si a una persona se le otorga 1 u.m. (Unidades monetarias) en el presente, podría acudir a una entidad financiera, depositar dicha cantidad en una cuenta de ahorros a una tasa de interés r % por período, y en el futuro obtendría (1 + r)  u.m. esto es, (1 +r) en el futuro equivale a 1 en el presente. De igual forma 1 unidad en el futuro tendría 1/(1+r) en el presente.

Ejemplos: si r = 0,12, entonces una utilidad en el futuro tendrá 1/(1+0,12)= 1/(1,12) =  0,8912 en el presente.

Si r= 0,20, entonces una utilidad en el futuro tendrá 1/(1+0,20)= 1/(1,20) =  0,83 en el presente.

La restricción presupuestaria a la que está sujeto el consumidor, establece que el consumo del primer periodo, más el valor presente del consumo en el segundo período, debe ser equivalente a los ingresos del primer periodo, esto es, el consumidor en el primer periodo cuenta con I u.m. y decide que en dicho período su consumo sea C1, el ingreso remanente es (I-C1), y es depositado a una entidad financiera a una tasa de r %. En el segundo período destina todos sus ingresos  (1+r)(I-C1) al consumo futuro C2, de esta forma se cumple la igualdad (I+r)(I-C1)= C2, que no es otra cosa que la restricción presupuestaria.

                [pic 3]

Con esta restricción se evita que el consumo a lo largo de los dos periodos exceda a sus ingresos.

Finalmente el problema que enfrenta el individuo es

 [pic 4]

La decisión optima del individuo consistirá en destinar sus recursos tanto al consumo presente C*1 como al consumo futuro C*2.

Geométricamente tenemos

                        [pic 5]

Nota: Formula del monto a interés compuesto:

Consideremos:

[pic 6]

Consideramos la deducción de la formula:

[pic 7]

[pic 8]

Si la capitalización es sub periódica la fórmula del monto a interés compuesto es

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