CLASE 01 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN DINAMICA

CLASE 01

INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN DINAMICA.

Diversos problemas económicos se formulan mediante procesos matemáticos, durante nuestros estudios  nos hemos familiarizado con las variables siguientes:

P: Precio de un producto.

Q: cantidad de un producto

B: Beneficio en una empresa

K: Capital asignado a un determinado proceso.

L: Mano de obra asignado en la transformación  de un recurso en un producto manufacturable

T: tiempo asignado en el proceso de transformación de un recurso.

P: Precio de un producto

V: Velocidad.

A: Aceleración.

F: Fuerza.

Además tenemos procesos funcionales, tales como:

P=f(q): El precio en función de la cantidad.

U =F(q): Utilidad en función de la cantidad producida.

U=f(C) : La utilidad en función del consumo

B=f(q): El beneficio en función de la cantidad.

C=f(q): Costo de un producto en función de la cantidad producida.

C=f(y,p,m,g,t): El consumo en función del ingreso, la publicidad, la moda, el gusto y la tecnología.

P=f(t,Q,K,L,T): La producción en función del tiempo, la cantidad, el capital , la mano de obra y la tecnología.

 Max {U]= f(x1,x2,x3,…,xn): La producción en función de los componentes del proceso de producción; sujeto a la restricción g(xi)=  g(x1,x2,x3,x4,…,xn), además las condiciones de no negatividad  para xi≥0,i=1,2,3,…,n.

En este proceso se tiene en cuenta tres momentos.

Max{U}: función objetivo.

G(xi): Restricciones de la variable de decisión.

xi≥0 : condiciones de  no negatividad.

En todo problema económico: Un agente toma decisiones, luego considera las consecuencias sobre su bienestar fututo. Ejemplos.

Decisiones de ahorro en los individuos.

Decisiones de inversión en las empresas.

Decisiones de  endeudamiento  de un gobierno.

En los ejemplos anteriores el agente optimizador toma  en cuenta  el efecto futuro de sus decisiones presentes.

Analizamos este problema considerando el consumo C en dos tiempos, f(t1,t2), donde t1: tiempo presente y t2 es tiempo futuro, y hay un solo bien de consumo         C en la economía que tiene un precio igual a l unidades monetarias (u.m.) en el presente, pero decide no trabajar en el futuro, por lo que no recibirá ingresos  en dicho periodo.

 Además este individuo vive dos periodos y valora tanto el consumo presente C1 como el consumo futuro C2, sin embargo el consumidor presenta cierto grado de impaciencia  y tiene una mayor utilidad  si consume en el presente, que si consume en el futuro.

La función de utilidad que refleja estas preferencias  esta dado por:

[pic 1]

Esta función se considera como una suma ponderada  de las utilidades asociada a cada periodo; mientras la  utilidad proveniente del primer periodo tiene prioridad igual a 1, la del segundo periodo tiene ponderación 0 < β < 1 (β tiene un valor  menor que 1, β se denomina factor de descuento).

β: Refleja el grado de impaciencia intertemporal del individuo, analizando cada momento tenemos:

Si  β = 0, entonces el individuo es totalmente impaciente y valora solo el consumo presente (se denomina decisiones miopes; no recomendadas)

Si  β = 1, entonces el individuo le daría el mismo grado de importancia al consumo presente  y al consumo futuro.

Nota:

a. La función de utilidad (01) es aditiva  con respecto al tiempo, esto es

                       [pic 2] 

b.  La restricción intertemporal limita la decisión del agente a que no consuma más de lo que pueda adquirir con sus recursos, sin embargo de acuerdo a la existencia de la variable temporal, el ingreso y el consumo en cada periodo no son compatibles directamente en la restricción complementaria, esto se debe al valor que posee el dinero en el tiempo. Si a una persona se le otorga 1 u.m. (Unidades monetarias) en el presente, podría acudir a una entidad financiera, depositar dicha cantidad en una cuenta de ahorros a una tasa de interés r % por período, y en el futuro obtendría (1 + r)  u.m. esto es, (1 +r) en el futuro equivale a 1 en el presente. De igual forma 1 unidad en el futuro tendría 1/(1+r) en el presente.

Ejemplos: si r = 0,12, entonces una utilidad en el futuro tendrá 1/(1+0,12)= 1/(1,12) =  0,8912 en el presente.

Si r= 0,20, entonces una utilidad en el futuro tendrá 1/(1+0,20)= 1/(1,20) =  0,83 en el presente.

La restricción presupuestaria a la que está sujeto el consumidor, establece que el consumo del primer periodo, más el valor presente del consumo en el segundo período, debe ser equivalente a los ingresos del primer periodo, esto es, el consumidor en el primer periodo cuenta con I u.m. y decide que en dicho período su consumo sea C1, el ingreso remanente es (I-C1), y es depositado a una entidad financiera a una tasa de r %. En el segundo período destina todos sus ingresos  (1+r)(I-C1) al consumo futuro C2, de esta forma se cumple la igualdad (I+r)(I-C1)= C2, que no es otra cosa que la restricción presupuestaria.

                [pic 3]

Con esta restricción se evita que el consumo a lo largo de los dos periodos exceda a sus ingresos.

Finalmente el problema que enfrenta el individuo es

 [pic 4]

La decisión optima del individuo consistirá en destinar sus recursos tanto al consumo presente C*1 como al consumo futuro C*2.

Geométricamente tenemos

                        [pic 5]

Nota: Formula del monto a interés compuesto:

Consideremos:

[pic 6]

Consideramos la deducción de la formula:

[pic 7]

[pic 8]

Si la capitalización es sub periódica la fórmula del monto a interés compuesto es

 [pic 9]

El problema  de elección intertemporal del consumo puede extenderse a un horizonte de un tiempo mayor.

El consumidor podría tener utilidad por el consumo en los siguientes períodos T, por lo tanto la función de utilidad  del consumidor sería la siguiente:

[pic 10] 

 En esta función de utilidad, el factor de descuento posibilita que conforme el consumo sea de un periodo más lejano con respecto al presente, el individuo le asignará una menor importancia al consumo. Esto es

[pic 11]

La restricción intertemporal para T períodos será similar a la restricción (02); esta establece que la suma de consumo en cada período, expresado en valor presente, debe ser equivalente al ingreso, esto es:

[pic 12] 

Finalmente el problema de optimización dinámica para un horizonte de tiempo T será el siguiente:

[pic 13]

CLASE 02

Ejemplos a considerar:

• Consideremos el cuerpo humano de una persona “x” el cuerpo humano de “x” es un sistema que evoluciona en el tiempo, es por tanto un sistema dinámico. Un día “x” decide ir al médico pues no se encuentra bien,  el médico tras escuchar al paciente, lo explora para conocer su estado de salud: Le toma la temperatura, la presión sanguínea, leucocitos, colesterol etc. Es decir. El médico mide el estado del sistema en dicho momento y toma nota de él (son las variables de estado en dicho momento). Como el estado del paciente no es el adecuado, hay que tomar medidas para modificar dicho estado: El médico, le dice al paciente que debe poner en práctica las siguientes medidas: Dormir  8 horas diarias, hacer ejercicios físicos 3 días por semana, dejar de fumar, no tomar más de un café al día, tomarse las medicinas que le receta, y seguir la dieta mediterránea (Son las variables de control). Cuando el paciente ponga en práctica las medidas propuestas por el médico, su estado de salud variará, de manera que cuando vuelva al médico un mes más tarde a pasar la revisión, el valor que tomara la variable de estado, será diferente. Los nuevos valores de la variable de estado dependerán de los valores que  tenía en el mes anterior y de las medidas que se ha puesto en práctica (la variable de control).
• Una persona viaja en su coche de una ciudad A hasta otra ciudad B, el coche se va moviendo por lo que se trata de su sistema dinámico. En un momento dado, el estado de S: viene dado por el lugar que se encuentra el vehículo y por la velocidad que lleva en ese momento. En cada instante, el conductor tiene a su disposición los controles: Volante, freno y acelerador, que están sujetos a ciertas restricciones. El estado del sistema depende del estado del S. en algún momento anterior y de los controles que haya introducido  en ambos. La trayectoria que siga el vehículo dependerá del punto de partida y de los controles que el conductor vaya introduciendo en el S. en cada instante, los cuales a su vez dependerán de los objetivos  del conductor: Puede ser minimizar el tiempo, o minimizar el costo o minimizar la cantidad de combustible.
• La economía de un determinado país es un S. que evoluciona  en el tiempo, por lo que es un sistema dinámico. En un determinado momento, el estado de dicha economía se recoge en un cuadro macroeconómico, donde aparecen los valores que toman las siguientes variables: Consumo privado, consumo público, formación bruta de capital fijo,  variación de existencias, demanda interna, exportaciones, importaciones, PBI, tasa de pago e inflación (Son las variables de estado). La autoridad económica decide tomar en práctica una serie de medidas  de política monetaria y de política fiscal (son las variables de control), que van a afectar el comportamiento de los agentes económicos y que llevaran a nuevos valores de la variable de estado, cuando estas se presentan en otro momento posterior. Los valores del cuadro macroeconómico  al final del año dependerán de los valores del mismo  a principios de año y de La medidas de política  económica tomada  durante el año, y en este caso también de la respuesta de los agentes a dichas medidas. Las medidas de política económica dependen de los objetivos que tenga  el gobierno en el momento en que se toman.
• Ejemplo 1.        Un consumidor tiene una función de utilidad U[C(t)], en donde C(t) es el consumo en el instante t € [0, T], se supone que U´(c(t))>0 y que U´´(c(t)) <0 (por lo que su utilidad es creciente y cóncava). La persona recibe una dotación inicial de stock de capital igual a K0, los ingresos de la persona  vienen dados por i*K, obtenidos a partir del stock de capital, en donde i es el tipo de interés de mercado. Además la persona puede consumir el stock de capital en cualquier instante, vendiendo capital (normalizamos su precio a la unidad). Supongamos también que el consumidor es impaciente, siendo δ su tasa de descuento. También se tiene que cumplir que K(t) ≥ 0. El problema consiste en:

[pic 14]

Sujeto a K´(t)=i K(t) –C(t)

Con: K(0)=K0 , K(t) ≥ 0

En la ecuación diferencial se puede despejar C(t), por lo que el problema se puede expresar como

[pic 15]

Con: K(0)=K0 , K(t) ≥ 0

Se trata de un problema  de cálculo de variaciones.

• Ejemplo 2. (problema de asignación regional de inversión, Takayama 1967 y  1985). Se considera una economía nacional  en la que existen dos regiones (1 y 2). Sea:

[pic 16] , en donde, para cada t: Y(t) es el producto nacional, Yi (i = 1, 2) es el output  de cada región. Se supone que el producto bruto está en función del capital output, por lo que [pic 17]

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