Optimizacion Dinamica
Enviado por tirifilo123 • 8 de Agosto de 2013 • 8.115 Palabras (33 Páginas) • 377 Visitas
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 81
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente sin la ayuda de gráficos.
4.1 Conceptos claves
A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para comprender apropiadamente el tema de optimización.
4.1.1 Funciones crecientes y decrecientes
Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente “a”; una primera derivada negativa indica que es decreciente.
Gráfico 4-1
Función creciente en x = a
(Pendiente >0)
Función decreciente en x = a
(Pendiente <0)
f´(a) > 0: función creciente en x = a
f´(a) < 0: función decreciente en x= a
4.1.2 Concavidad y convexidad
Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región cercana al punto [a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente. Una función es convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a
x
y
a
y
x
a
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denota que la función es convexa en x = a. Análogamente, una segunda derivada negativa en x = a denota que la función es cóncava en “a”.
Gráfico 4-2
Convexo en x=a
f′(a) > 0 f′′(a) > 0
f′(a) < 0 f′′(a) > 0
Cóncavo en x=a
f′(a) > 0 f′′(a) < 0
f′(a) < 0 f′′(a) < 0
f′′(a) > 0: f(x) es convexo en x = a
f′′(a) < 0: f(x) es cóncavo en x = a
4.1.3 Extremo relativo
Un extremo relativo es un punto en el cual una función esta a un máximo o mínimo. Para ello, la función debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un punto en el dominio de una función donde la derivada iguala a cero o es indefinida es llamado punto o valor critico.
yx a y
x
y
a
x
a
y
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a
a
a
x
y
y
x
a
Gráfico 4-3
Mínimo relativo en x=a
Máximo relativo en x=a
f′(a) = 0 f′′(a) > 0
f′(a) = 0 f′′(a) < 0
4.1.4 Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea tangente y cambia de cóncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexión pueden ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f′′(a)=0.
Gráfico 4-4
f′′(a)=0
f′(a) = 0
f′(a) = 0
f′(a) < 0
f′(a) > 0
f′′(a) = Nd
f′(a) > 0
f′(a) < 0
f′(a) = 0
y
x
y
x
a
x
y
y
x
a
y
x
y y x
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4.2 Optimización sin restricción
4.2.1 Funciones objetivo de una variable
Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán:
1. Identificar
los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0, dy0dx=
2. Tomar
la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:
•
f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo
•
f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo
...