Optimizacion Dinamica

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 81

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente sin la ayuda de gráficos.

4.1 Conceptos claves

A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para comprender apropiadamente el tema de optimización.

4.1.1 Funciones crecientes y decrecientes

Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente “a”; una primera derivada negativa indica que es decreciente.

Gráfico 4-1

Función creciente en x = a

(Pendiente >0)

Función decreciente en x = a

(Pendiente <0)

f´(a) > 0: función creciente en x = a

f´(a) < 0: función decreciente en x= a

4.1.2 Concavidad y convexidad

Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región cercana al punto [a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente. Una función es convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a

x

y

a

y

x

a

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 82

denota que la función es convexa en x = a. Análogamente, una segunda derivada negativa en x = a denota que la función es cóncava en “a”.

Gráfico 4-2

Convexo en x=a

f′(a) > 0 f′′(a) > 0

f′(a) < 0 f′′(a) > 0

Cóncavo en x=a

f′(a) > 0 f′′(a) < 0

f′(a) < 0 f′′(a) < 0

f′′(a) > 0: f(x) es convexo en x = a

f′′(a) < 0: f(x) es cóncavo en x = a

4.1.3 Extremo relativo

Un extremo relativo es un punto en el cual una función esta a un máximo o mínimo. Para ello, la función debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un punto en el dominio de una función donde la derivada iguala a cero o es indefinida es llamado punto o valor critico.

yx a y

x

y

a

x

a

y

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 83

a

a

a

x

y

y

x

a

Gráfico 4-3

Mínimo relativo en x=a

Máximo relativo en x=a

f′(a) = 0 f′′(a) > 0

f′(a) = 0 f′′(a) < 0

4.1.4 Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea tangente y cambia de cóncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexión pueden ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f′′(a)=0.

Gráfico 4-4

f′′(a)=0

f′(a) = 0

f′(a) = 0

f′(a) < 0

f′(a) > 0

f′′(a) = Nd

f′(a) > 0

f′(a) < 0

f′(a) = 0

y

x

y

x

a

x

y

y

x

a

y

x

y y x

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

4.2 Optimización sin restricción

4.2.1 Funciones objetivo de una variable

Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán:

1. Identificar

los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0, dy0dx=

2. Tomar

la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:

•

f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo

•

f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo

•

f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas sucesivas”:

-

Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la función es un punto de inflexión.

-

Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando es evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par, entonces la función es un extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la función es cóncava en “a” (y por ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la función es convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.

Ejercicio 76: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:

f(x) = -7x2 + 126x - 23

Solución.

Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

f′(x)=-14x + 126 = 0

x = 9 (valor critico)

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 84

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

Tomando la segunda derivada y evaluando el valor critico:

f′′(x) = -14, entonces f′′(9) = -14

< 0 es cóncavo, máximo relativo.

Ejercicio 77: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:

f (x) = 2x4 – 16x3 + 32x2 + 5

Solución.

Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

f′(x) = 8x3 – 48x2 + 64x = 0

f′(x) = 8x( x – 2 ) ( x – 4) = 0

x=0, x=2, x=4 (puntos críticos)

Tomando la segunda derivada y evaluando los puntos críticos:

f′′(x) =24x2 - 96x +64

f′′(0) =24(0)2 – 96(0) +64 = 64

>0 convexo, mínimo relativo

f′′(2) =24(2)2 – 96(2) +64 = -32

<0 cóncavo, máximo relativo

f′′(4) =24(4)2 – 96(4) +64 = 64

>0 convexo, mínimo relativo

Ejerció 78: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:

f(x) = - ( x - 8 )4

Solución.

Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

f′(x) = -4( x - 8 )3 = 0

x=8 (punto critico)

Tomando la segunda derivada y evaluando el punto crítico:

f′′(x) = -12( x - 8 )2

f′′(8) = -12( 8 - 8 )2 = 0

Se requiere el test de derivadas sucesivas.

f′′′ (x) = -24( x - 8 )

f′′′ (8) = -24( 8 - 8 ) = 0

test inconcluso

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 85

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

f′′′′ (x) = -24

f′′′′ (8) = -24

<0 cóncavo, máximo relativo

Ejercicio 79: Buscar la relación entre:

a) Producto total, b) Producto medio, y c) Producto marginal de la siguiente función de producción:

PT = 90K2 – K3

Solución.

a) Condición de 1er Orden para encontrar los valores críticos.

PT′ = 90K – 3K2

= 3K (60-K) = 0

K=0 y K=60 (valores críticos)

Probar las condiciones de 2do Orden.

PT′′ = 180 – 6 K

PT′′ (0) = 180

(convexo mínimo relativo)

PT′′ (60) = -180

(cóncavo, máximo relativo)

Comprobar puntos de inflexión.

K < 30 → PT′′ > 0 (convexo)

PT′′ = 180 – 6 K = 0 ⇒ K = 30

K > 30 → PT′′ < 0 (cóncavo)

Puesto que K = 30, PT′′ = 0, hay un punto de inflexión en K=3

b) Pmek = PTK = 90K – K2

Pme′k = 90 – 2K = 0

K=45 (valor critico)

Pme′′k = -2

< 0 (cóncavo, máximo relativo)

c) PMgk= PT′ = 180K - 3K2

PMg′′k = 180 – 6K = 0

K=30 (valor crítico)

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 86

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

PMg′′k = –6

<0 (cóncavo, máximo relativo)

Gráfico 4-5

PT Pmg=0

108000

91125 Pme máximo

54000 Pmg máximo

Pmg. 30 45 60 K

Pme.

2700 Pmg.

Pme.

30 45 60 K

4.2.2 Funciones objetivo de dos variables

Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres condiciones deben ser satisfechas:

1. Las

derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a cero. Ello indica que en un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función no esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie relativa.

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 87

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

2. Las

derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en el punto critico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo relativo.

3. El

producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de inflexión o punto de silla (ver gráfico 4-6). En resumen:

Condición necesaria

...