CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

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Conceptualizando

Un conjunto es una colección de objetos de cualquier naturaleza, bien definidos y diferenciables entre sí. A dichos objetos se los llama elementos o miembros de un conjunto. Es esencial que esté bien definida la colección, no debe haber ambigüedad ni subjetividad. Ejemplo:   los alumnos de esta comisión cuyo nombre comienza con A (no hay dudas de quienes son), la colección de números enteros comprendidos entre 1 y 6 (todos sabemos quiénes son los elementos de esta colección), los santafecinos entre 20 y 30 años (tomados al día  de hoy, mañana tal vez es otra colección si cumplen años).  Contraejemplo: la colección de los mejores profesores de la Facultad Regional Rosario.  

Notación

Para nombrar a conjuntos se emplea letra mayúscula. Ejemplo:  A  

Para nombrar a elementos se usa letra minúscula. Ejemplo:  x

Si x es un elemento del conjunto A se simboliza          x ∈ A   (se lee “x pertenece a A”)

Si x es un elemento que no está en el conjunto se simboliza          x ∉  A (se lee “x no pertenece a A”)

Observe que a la derecha del símbolo ∈ está el nombre del conjunto y a la izquierda el nombre de alguno de los elementos.

Observación: la notación especificada es definida en forma genérica. Es decir, generalmente se utiliza la letra minúscula para referenciar los elementos de un conjunto, más adelante veremos que puede haber elementos que son conjuntos (considere el conjunto potencia) y en ese caso se los indica con mayúscula.

Ejemplo:

Sea el conjunto de las estaciones del año, que simbólicamente lo nombramos con la letra E. La palabra primavera es un elemento del conjunto, es decir, primavera pertenece al conjunto E.  Simbólicamente:  

                            primavera    ∈    E

Formas de explicitar un conjunto

Un conjunto está bien determinado o definido si se sabe exactamente cuáles son los elementos que pertenecen a él y cuáles no. Hay dos maneras de determinar a un conjunto: por extensión o enumeración y por comprensión.

Extensión o enumeración

Si un conjunto tiene un número finito de objetos, es posible listar (o nombrar) los elementos que lo componen separados por comas y encerrados entre llaves. Esta notación se conoce con el nombre de extensión o enumeración.

Ejemplo:  

Sea el conjunto V formado por las vocales de nuestro alfabeto español. Definimos el conjunto V por extensión de la siguiente manera:  

V= {a, e, i, o, u}  

Describe el conjunto integrado por los elementos a, e, i, o, u  (las vocales de nuestro alfabeto).

Claramente se observa lo siguiente: a ∈ V  pero por ejemplo la siguiente letra del alfabeto no está en el conjunto, es decir, b ∉  V.

Observación:  

• No importa el orden que se listan los elementos {a, e, i, o, u}  {o, u, a, e, i}  {i, o, u, a, e} son representaciones del mismo conjunto V.  
• Cada elemento de un conjunto se nombra en la lista una sola vez, es decir no es correcto escribir al conjunto V de la siguiente forma {a, a, o, u, i, i, e}.

Comprensión

Si un conjunto es infinito o es finito pero sería complicado listar todos sus elementos por la cantidad que tiene, es conveniente definirlo por comprensión, es decir especificar un criterio, una característica o propiedad que los elementos del conjunto tienen en común. Se emplea la notación P(x) para denotar una oración o enunciado P relativo al objeto o variable x. Así {x / P(x)}  (se lee “x tal que P de x”) constituye la colección de todos los objetos x que satisfacen la propiedad P.

Ejemplo:  

V = {x/ x es una vocal} (se lee V es el conjunto de x tal que x es una vocal)

Como puede observarse “x” en este caso designa a un elemento cualquiera del conjunto, ninguno en particular, por eso se lo llama variable o elemento genérico, y por lo tanto puede ir adoptando diferentes valores. Es decir, si reemplazo la x genérica por alguna de las vocales queda una oración (llamada proposición) que es verdadera, mientras que si reemplazo la “x” por una consonante, la oración será falsa. Además, observe el verbo empleado, se usa es y no son (concordancia del singular entre sujeto y verbo), porque se analiza un elemento por vez.

EJERCICIO: 

A es el conjunto formado por todas las letras de la palabra “amistad”, definirlo por extensión y por comprensión

        A = {m,t,d,a,i,s}                   A={x/x es una letra de la palabra “amistad”}

Observación: Un conjunto escrito por extensión también podría ser definido por comprensión, pero lo contrario no siempre es posible.  

Repaso de conjuntos numéricos

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• La adición de un superíndice + o – indica que sólo los elementos positivos o negativos se van a incluir.
• El cero no es ni positivo ni negativo. Algunos autores definen a los números naturales sólo como los enteros positivos, para evitar problemas utilizaremos la notación ℤ+ (para indicar enteros positivos solamente) y ℤ+0  (para indicar enteros positivos con el cero) y no tanto la de naturales.
• El conjunto de los números reales generalmente se describe como el conjunto de todos los puntos en una recta.

Ejemplo:  

B es el conjunto de los enteros positivos menores o iguales que 4. Defina por extensión y comprensión

Por extensión           B = {1, 2, 3, 4}

Por comprensión         B = {x/x es un entero positivo y x es menor o igual que 4}  

O expresado mediante fórmulas simbólicas para lograr brevedad y precisión de la siguiente forma  

B = {x/x ∈ ℤ+ y x ≤ 4}  

(Se lee el conjunto B está formado por x tal que x es un número entero positivo y x es menor e igual a 4 o B es el conjunto de todo número entero positivo que es menor o igual que 4).)

¿Podría escribir por comprensión de alguna otra forma el conjunto B? Analice cuál es la más conveniente.

Observación:

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