CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL

CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL NO LINEAL DE MULTICAPAS POR EL MÉTODO DE CUADRATURA DIFERENCIAL

Introducción

Es fundamental estudiar el problema de consolidación unidimensional, tomando tanto la linealidad y capas características de suelo natural en cuenta. En la década de 1960, los investigadores se interesaron en el comportamiento no lineal de consolidación de suelos blandos. Las teorías generales de la consolidación unidimensional lineal finita de capas homogéneas finas y gruesas fueron dadas por Gibson et al. [1,2]. Se han realizado muchos esfuerzos para obtener soluciones numéricas y analíticas basadas en las teorías de diferentes tipos de consolidación unidimensional. Davis y Raymond [3] derivan una solución analítica para una constante cargando un caso basado en las hipótesis que la disminución de la permeabilidad es proporcional a la disminución de la capacidad de compresión durante el proceso de consolidación, y que la distribución de presiones eficaces iniciales es uniforme en la dirección del espesor. Rokhsar [5] Barden y Berry [4] y Mesri resolvieron el problema similar mediante el método de diferencias finitas; se emplearon la tensión eficaz e-log comúnmente aceptada y las leyes de permeabilidad e-log. Xie et al [6] desarrolló una solución analítica para el problema de consolidación unidimensional asociado con carga dependiente del tiempo sobre la base del trabajo en [3]. Teniendo en cuenta las características de capas de suelo, Li et al [7,8] desarrolló una solución semi analítica para la consolidación no lineal unidimensional suponiendo que el coeficiente de consolidación permanece constante durante cada intervalo de tiempo discreto. Más recientemente, Xie et al [9] deriva una solución analítica para la consolidación unidimensional no lineal del suelo doble capa para sistemas de carga; emplearon las mismas hipótesis propuesta por Davis y Raymond [3] con excepción de la condición de carga. La consolidación no lineal de la capa de un suelo se rige por ecuaciones diferenciales parciales que son difíciles de resolver usando una solución analítica. Tradicionalmente se emplean soluciones numéricas como el método de diferencias finitas (FDM) y el método de elementos finitos (FEM). Estos dos métodos aproximan las derivadas parciales de una función en un punto de cuadrícula utilizando sólo un número limitado de valores de la función en las proximidades de ese punto en la cuadrícula. La precisión y la estabilidad de estos métodos dependen del tamaño de los espacios de la cuadrícula. En la década de 1970, Bellman y Casti [10] y Bellman et al [11] introdujeron el Método Diferencial Cuadratura (DQM) como un medio rápido para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La idea fundamental del DQM es aproximar varias derivadas de una función por medio de un polinomio expresado como una suma ponderada lineal de los valores de la función en todos los puntos de la cuadrícula. Se ha alegado en numerosos estudios que la DQM es capaz de producir soluciones de alta precisión para ambos problemas iniciales y valores en la frontera con un mínimo esfuerzo computacional.

Malik y Civan [12] han hecho una comparación completa para los problemas de convección-difusión-reacción lineales y no lineales y han demostrado que el DQM destaca en exactitud numérica así como eficiencia computacional sobre el FDM y FEM. En las últimas dos décadas, se ha aplicado a muchos campos, incluyendo DQM: Biociencias, transferencia calor, mecánica de fluidos, los procesos de transporte y mecánica estructural, etc., y el campo de sus aplicaciones se espera que crezca más en el futuro.

No obstante, el DQM en sí está todavía en una etapa de desarrollo. Las aplicaciones de DQM son más limitadas a los problemas de pequeña escala. Algunos investigadores han ampliado DQM combinándolo con algunas nuevas técnicas para superar esta limitación. Uno puede encontrar referencias pertinentes y discusiones detalladas en el documento de revisión [13]. Trabajos de investigación más recientes pueden encontrarse en [14-19]. La aplicación de DQM en ingeniería geotécnica es aún muy limitada. Recientemente, Wang et al [20] introdujo el DQM al análisis de consolidación unidimensional de un suelo de doble capa.

En el presente documento, el DQM es empleado para el análisis de consolidación unidimensional no lineal de varias capas del suelo, sobre la base de la teoría no lineal propuesto por Davis y Raymond [3]. Primero se presenta el modelo matemático, que toma en cuenta la distribución arbitraria inicial tensión eficaz, parcialmente drenados límites y condiciones de carga arbitraria. Entonces, el DQM brevemente se introduce y se utilizó para derivar la solución del problema actual. Finalmente, la solución numérica actual se compara con la solución analítica desarrollada por Xie et al [9].

Modelación Matemático

La consolidación no lineal unidimensional de un suelo multicapa con límites parcialmente drenados es descrita por el esquema se muestra en la figura 1, donde hi es el espesor de la capa (me = 1,2,..., n), H = h1+ h2+... + hn es el espesor total, kiv0 es el coeficiente de permeabilidad en la dirección vertical de la capa de ith inicial miv0 es el coeficiente de compresibilidad de la capa de ith inicial, y q(t) es la carga uniformemente distribuida aplicada sobre la superficie del suelo.

Fig. 1 Suelos de varias capas con límites parcialmente drenados.

XIe et al [9] había extendido la teoría de Davis y Raymands [3] a dos capas de suelo y las condiciones de carga dependiente del tiempo. En este documento, igualmente podemos escribir las ecuaciones diferenciales que rigen para suelos multicapas como sigue:

donde, civ, ui y σ’i son el coeficiente de consolidación, la presión del agua sobrante del poro y la tensión efectiva vertical en la capa de ith, respectivamente, y t y z son las variables tiempo y espacio, respectivamente.

La suposición de la constante Civ en cada capa implica que la disminución de la permeabilidad es proporcional a la disminución de la compresibilidad [3]. Así tenemos, civ =ki v/(miv0γw) en el cual γw es la unidad de peso de agua, y miv0=0.434Cic = ð1/(1+eio)σ’i0 con Cic denota el índice de compresión de la capa i-ésima y eio índice inicial de poros de la capa ith correspondiente a la tensión inicial eficaz σ’i0.

Según el principio de tensión eficaz de Terzaghi, σ’i puede ser expresada como:

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1), nos da:

donde R (t) = dq / dt es la velocidad de carga.

Tabla 1

Límites de Drenaje a1 b1

Drenaje Libre 0 -1

Impermeable 1 0

Impedimento 1 k0v0h1/k1v0h0a

Condiciones de drenaje del límite superior.

ak0v0 y h0 son los coeficientes de permeabilidad y el espesor de la capa de impedimento en el límite superior, respectivamente.

Tabla 2

Límites de Drenaje a1 b1

Drenaje Libre 0 1

Impermeable 1 0

Impedimento 1 Kn+1v0hn/knv0hn+1a

akn+1v0 y hn+1 son los coeficientes de permeabilidad y el espesor de la capa de impedimento en el límite inferior, respectivamente.

Las condiciones de frontera y las condiciones interfaciales son:

donde a1, b1, an y bn son coeficientes que dependen de las condiciones de límite específicas. Las tablas 1 y 2 presentan valores particulares de estos coeficientes drenaje libre, fronteras impermeables y semi impermeables. El exceso de presión inicial del agua porosa es una función continua de la profundidad.

El Método de Cuadratura Diferencial

DQM es una técnica de solución numérica de problemas de valor límite inicial y/o propuesto por Bellman y Casti [10] y Bellman et al [11]. En DQM, la derivada de una función con respecto a una variable puede ser aproximada por una combinación lineal ponderada de los valores de la función en los puntos de la cuadrícula en el dominio de esa variable.

Para mostrar el detalle matemático de DQM, considerar una función y = y (x) en el dominio 0 ≤ x ≤ a. Saber los valores de la función en un sistema de muestreo preseleccionados puntos xα (α= 1,2,..., N). Entonces, un derivado de rth-orden de la función y (x) en un punto x = xα se puede aproximar por la suma lineal ponderada de los valores de la función como:

donde D(r)αβ son los coeficientes de ponderación del derivado rth, donde r ≤ N - 1. Como se ve en la ecuación (9), hay dos factores importantes que están asociados con la precisión de este método. Estos son los valores de los coeficientes de ponderación y las posiciones de variables discretas. Hay muchos métodos disponibles para determinar los coeficientes de ponderación [11,13]. Este trabajo se adoptó al método de Quan y Chang [21] porque los coeficientes de ponderación pueden obtenerse directamente y con más precisión, independientemente del número y posición de los puntos de muestreo. Los términos de-diagonal del coeficiente de ponderación matriz del primer orden derivado son dadas por:

Los

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