Calculo Integral

UNIDAD 4

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, laintegral

es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

CONSTANTE DE INTEGRACIÓN: Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. Si una función f está definida en un intervalo y F es una primitiva de f, entonces el conjunto de todas las primitivas de f viene dado por las funciones F (x) + C, siendo C, una constante arbitraria

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante Cse obtiene otra primitiva, porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas de cos(x). Una de estas primitivas es sin(x). Otra es sin(x)+1. Una tercera es sin(x)-π. Cada una de estas funciones tiene por derivada cos(x), por lo tanto todas son primitivas de cos(x). Resulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función. Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia de una constante. Para expresar este hecho para cos(x), se escribe:

Sustituyendo C por un número cualquiera, se obtiene una primitiva. En cambio, escribiendo C en vez de un número se obtiene una descripción compacta de todas las primitivas posibles de cos(x). C se denomina constante de integración. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son, en efecto, primitivas de cos(x):

Necesidad de la constante

A primera vista puede parecer que la constante es innecesaria, puesto que se puede considerar cero. Además, al evaluar integrales definidas empleando el teorema fundamental del cálculo, la constante siempre se anulará. Pero intentar igualar la constante a cero no siempre tiene sentido. Por ejemplo, 2sin(x)cos(x) se puede integrar de dos maneras diferentes:

Por lo tanto, al considerar C como nula aún quedaría una constante. Esto significa que, para una función dada, no hay ninguna antiderivada "más simple".

Otro problema con igualar C a cero es que a veces se quiere hallar una primitiva que tiene un valor dado en un punto dado. Por ejemplo, para obtener la primitiva de cos(x) que tiene el valor 100 en x = π sólo hay un valor válido de C (en este caso C = 100).

Esta restricción se puede reformular en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Encontrar una integral indefinida de una función f(x)es lo mismo que resolver la ecuación diferencial dy/dx = f(x). Cualquier ecuación diferencial tiene muchas soluciones, y cada constante representa la solución única de un problema de valor inicial muy definido. Imponer la condición de que la primitiva tome el valor 100 en x= π es una condición inicial. Cada condición inicial corresponde a un único valor de C, de modo que sin C sería imposible resolver el problema.

Hay otra justificación, que viene del álgebra abstracta. El espacio de todas las funciones reales sobre el conjunto de los números reales (adecuadas) es un espacio vectorial, y el operador diferencial

d/dx

es un operador lineal. El operador d/dx hace corresponder una función a cero si y sólo si la función es constante. Consecuentemente, el núcleo de d/dx es el espacio de todas las funciones constantes. El proceso de integración indefinida equivale a encontrar una antiimagen de una función dada. No hay ninguna antiimagen canónica para una función dada, pero el conjunto de todas esas antiimágenes forma una clase lateral. Elegir una constante es lo mismo que elegir un elemento de la clase lateral. En este contexto, resolver un problema de valor inicial se interpreta como la pertenencia al hiperplano dado por las condiciones iniciales.

Motivo para la diferencia de una constante entre primitivas

Este resultado se puede establecer formalmente de esta forma: Sean F:R→R y G:R→R dos funciones derivables en todas partes. Supóngase que F'(x) = G'(x) para todos los números reales x. Entonces existe un número real C tal que F(x) - G(x) = C para todo x real.

Para demostrar esto, nótese que [F(x) - G(x)]' = 0. Por lo tanto F se puede sustituir por F-G y G por la función constante 0; esto transforma el problema en el de demostrar que una función derivable en todas partes que tiene por derivada la función constante cero tiene que ser la función constante:

Se escoge un número real a, y se hace C=F(a). Para cualquier x, el teorema fundamental del cálculo establece que

lo que implica que F(x)=C. Por lo tanto F es una función constante.

Hay dos hechos cruciales en esta demostración. Primero, la recta real es un espacio conexo. Si la recta real no fuera conexa, no siempre se podría integrar desde un punto fijo a hasta cualquier x dado. Por ejemplo si se tratara de funciones definidas en la unión de los intervalos [0,1] y [2,3], y si a fuera 0, entonces no sería posible integrar de 0 a 3, porque la función no estaría definida entre 1 y 2. En este caso habría dos constantes, una para cada componente conexo del dominio de la función. En general, a base de sustituir constantes por funciones localmente constantes se puede extender este teorema a dominios no conexos.

Segundo, se ha supuesto que F y G son derivables en todas partes. Si F y G no son derivables en sólo un punto, el teorema falla. Por ejemplo, sea F(x) la función escalón, que vale 0 para valores negativos de x y 1 para valores no negativos de x, y sea G(x) = 0. Entonces la derivada de F es cero donde está definida, y la derivada de G es siempre cero. Con todo, queda claro que F y G no difieren en una constante. Incluso si se supone que F y G son continuas en todas partes y derivables casi en todas partes el teorema sigue fallando. A modo de ejemplo, tómese como F la función de Cantor y sea de nuevo G = 0.

ÁREA BAJO LA CURVA

El concepto de área lo hemos manejado ampliamente en cursos básicos, de hecho para las figuras geométricas como el rectángulo el cálculo de su área se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el área de un triángulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el área de cualquier polígono (regular e irregular) solo debemos triangular (construir triángulos en su área), calcular el área de cada uno de ellos y sumarlas...

En todas las situaciones anteriores el proceso para el cálculo del área es relativamente simple, sin embargo cuando tenemos una figura como la siguiente en la cual uno o varios de sus lados que limitan la región en la cual queremos calcular el área son curvas, no tenemos un proceso claro.

El cálculo integral tiene una estrecha relación con el concepto de área

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