Calculo Diferencial. Límites y continuidad
Kevin Osiel Huerta TavarezPráctica o problema2 de Septiembre de 2020
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CAPITULO III: Límites y continuidad.
3.1 Límite de una sucesión.
El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.
Ejemplo 1: [pic 1]
a1= 1
a2= 0.5
a1000= 0.001
a1000 000 = 0.000001 El límite es 0.
Ejemplo 2: [pic 2]
a1= 0.5
a2= 0.6666....
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001 El límite es 1.
Ejemplo 3: [pic 3]
a1= 5
a2= 7
a1000= 2 003
a1000 000 = 2 000 003
Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.
3.2 Límite de una función de variable real.
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto. Precisar características de este comportamiento puede ser necesario y además en algunas circunstancias puede requerir de estudios rigurosos. Analicemos ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección determinar características obvias. Veamos cómo se comporta la función “f” de variable real con regla de correspondencia Evaluando la función para ciertos valores de “x”, cada vez más próximos a 2, tenemos:[pic 4]
x | [pic 5] |
1.90 | 4.80 |
1.95 | 4.90 |
1.99 | 4.98 |
2.01 | 5.02 |
2.05 | 5.10 |
2.10 | 5.20 |
Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 5. Este comportamiento lo describiremos de la siguiente forma: [pic 6]
Ahora veamos el comportamiento de otra función “f” de variable real con regla de correspondencia , en la cercanía de x=1.[pic 7]
Evaluando la función para ciertos valores de “x”, cada vez más próximos a 1, tenemos:
x | [pic 8] |
0.90 | 6.90 |
0.95 | 6.95 |
0.99 | 6.99 |
1.01 | 7.01 |
1.05 | 7.05 |
1.10 | 7.10 |
Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente “x” se aproxima a tomar el valor de 1, es decir [pic 9]
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
3.3 Cálculo de límites.
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
3.4 Propiedades de los límites.
[pic 15][pic 16]
3.5 Límites laterales.
Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números: Tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4.5 que está entre 4 y 5, 4 4.5... 5.
Ahora busquemos un número entre 4 y 4.5 (podemos tomar 4.3 que está entre 4 y 4.5) 4 ...... 4.3 ..... 4.5.
Ahora busquemos un número entre 4 y 4.3 (podemos tomar 4.1 que está entre 4 y 4.3) 4 ....... 4.1 ...... 4.3.
Ahora busquemos un número entre 4 y 4.1 (podemos tomar 4.08 que está entre 4 y 4.1) 4 ...... 4.08 .... 4.1.
Ahora busquemos un número entre 4 y 4.08 (podemos tomar 4.001 que está entre 4 y 4.08) 4 ..... 4.001 .... 4.08.
Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "4" todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "4" es el límite que no podemos tocar. Como nos acercamos desde valores mayores a 4, se dice que nos "acercamos por la derecha".
[pic 17]
Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos "acercaríamos por la izquierda".
[pic 18]
El concepto de límite está íntimamente ligado al concepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 4 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.
Análisis por la izquierda Análisis por la derecha
x | y = 4 + x |
0,1 | 4,1 |
0,01 | 4,01 |
0,001 | 4,001 |
0,0001 | 4,0001 |
x | y = 4 + x |
– 0,1 | 3,9 |
– 0,01 | 3,99 |
– 0,001 | 3,999 |
– 0,0001 | 3,9999 |
El valor de x se acerca a "cero" y el valor de "y" (la imagen de la función) se acerca a 4. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice "se acerca a" sino "tiende a"; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir "tiende a" se pone una flecha. De manera que "x tiende a cero" se indica "x [pic 19] 0" e "y tiende a cuatro" se escribe como "y [pic 20] 4".
El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.
Ejemplo:
[pic 21]
[pic 22]
No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función:
[pic 23]
Para hallar el límite de esta función (paramétrica) debemos separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1", (x + 3), de la parte que se utiliza con los valores mayores a "1", (x – 1).
Nuevamente (para escribir menos) indicamos con el signo "+" (colocado como superíndice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la derecha.
Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:[pic 24]
[pic 25]
Indicamos con el signo"–" (colocado como superíndice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la izquierda. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:[pic 26]
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