Formulario Para Calculo Diferencial (limites)

Ejercicio No.22 –Iluminación – (Resolución página 72)

Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A como indica la figura

Un móvil recorre el segmento BC con movimiento rectilíneo uniforme de velocidad u mientras su sombra S proyectada sobre el muro perimetral describe un movimiento circular de velocidad V. (u y V , módulos).

En un instante t cualquiera el móvil se encuentra en un punto P, siendo x la distancia BP y s la longitud del arco BS. Recuerda que: s = R.

a) Halla la relación entre θ y ϕ y calcula θ en función de x .

b) Encuentra la expresión de V como función de x.

c) Tomando t=0 cuando el móvil pasa por el punto B , bosqueja la función V e indica en qué posiciones del móvil la velocidad de la sombra es máxima y mínima para x variando entre 0 y 2R.

d) Calcula la velocidad de la sombra cuando el móvil pasa por el punto medio del segmento BO, e indica cuál es el porcentaje de esa velocidad respecto de la velocidad máxima.

Ejercicio No. 22

a) Refiriéndonos a la fig.(1) tenemos que en el triángulo BOD se cumple:

∧

SOD

(el ángulo SOD es externo al triángulo AOS y vale por tanto 2θ )

⇒ ϕ= −θ

El problema presenta simetría respecto del diámetro AA´ por lo que nos limitaremos a efectuar el estudio para 0 ≤ x ≤ R .

En el triángulo AOP : tg θ = OP = R − x ⇒ θ= Arctg⎛⎜ R - x ⎞⎟ (1)

OA R ⎝ R ⎠

ds

b) Como: s = R.ϕ y V = tendremos: dt

s = R ( − 2θ) (2) con s = s(t) y θ=θ(t).

Derivando la expresión (2) respecto de t obtienes:

ds d θ

= - 2R (3)

dt dt

d θ

Para hallar la expresión de derivamos la igualdad (1) respecto de t recordando la dt

derivada de la función Arctg y teniendo en cuenta que x es función de t.

1

dθ = R dx dt ⎛ R − x ⎞2 dt

1+⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ dx

Sustituyendo en (3) y teniendo en cuenta que = v se obtiene : dt

−1

ds R .v = 2 .v

V = = − 2R.

dt ⎛ R − x ⎞2 ⎛ R − x ⎞2

1+⎜ ⎟ 1+⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠

2.v.R2

Operando , finalmente : V(x) = R2 +(R − x)2

c) Bosquejemos V(x) en [ 0 , 2R]

V(0) = v V(2R) = v

Derivando: dV = 2.v.R 2. − 2(R − X).(−1) = 4.v.R2.(R − x)

dt [R2 +(R − x)2]2 [R2 +(R − X)2] 2

0 dV

Sig. + dx

0 R 2R

Max.

El máximo relativo tiene como ordenada: V(R) = 2 v por lo que resulta ser el máximo absoluto en el intervalo.

La gráfica de la función tendrá el

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