Calculo Superior
Enviado por flooow • 13 de Octubre de 2013 • 2.179 Palabras (9 Páginas) • 278 Visitas
Tablas de verdad
La construcci´on de la l´ogica se realiza mediante proposiciones. Una proposici
´on es una sentencia declarativa la cual puede ser verdadera o falsa, pero
no ambas al mismo tiempo, por ejemplo, “2 es mayor que 3”y “todos los
tri´angulos equil´ateros son equiangulares”son proposiciones, mientras que “x <
3”y “esta afirmaci´on es falsa”no lo son (la primera de estas es una sentencia
declarativa pero no se le puede asignar un valor de verdad hasta que se
conozca lo que “x”representa; por otro lado, no es posible asignarle un valor
verdad a la segunda).
Denotaremos las proposiciones por letras min´usculas : p, q, r, s, etc. En
cualquier discusi´on dada, diferentes letras pueden o no representar diferentes
proposiciones, pero una letra que aparezca m´as de una vez en una discusi´on
representa siempre la misma proposici´on. A una proposici´on verdadera co -
responde el valor de verdad V (verdadero) y a una proposici´on falsa un valor
de verdad F (falso). As´ı, “2 + 3 < 7”tiene un valor de verdad V , mientras
que “2 + 3 = 7”tiene un valor de verdad F.
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6 CAP´ITULO 1. L ´ OGICA
Nos interesa combinar proposiciones simples (o subproposiciones) para
construir proposiciones m´as complicadas (o proposiciones compuestas). Se
combinan proposiciones con conectivos que, entre otros, son “ y ”, “ o ”e “
implica ”.
Si p, q son dos proposiciones, entonces “p y q”es tambi´en una proposici´on
llamada la conjunci´on de p y q, y denotada por
p ^ q:
El valor de verdad de p ^ q depende de los valores de verdad de las proposiciones
p y q : p ^ q es verdadera cuando p y q son ambas verdaderas, de otra
manera es falsa. Notar que este es el significado usual que se asigna a “y”
Una manera conveniente de describir lo anterior es por una tabla de verdad.
Como cada una de las proposiciones p, q tiene dos valores posibles de
verdad, juntas ellas tienen 2 £ 2 = 4 posibles valores de verdad de manera
que la siguiente tabla combina todas las posibilidades :
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
La tabla anterior se considera tambi´en como la definici´on del conectivo ^.
Notar que la tabla anterior no tiene nada que ver con p y q; estos ´ultimos
son s´olo variables, en la misma forma que tiene el rol de x en la notaci´on
funcional f(x) = 2x ¡ 3.
Para mejor comprensi´on de este punto se propone el siguiente :
Ejercicio : Se define el conectivo ? como p ? q es verdadero s´olo cuando
q es verdadero y p es falso, y es falso de otra forma.
1.1. TABLAS DE VERDAD 7
a) Escribir la tabla de verdad de p ? q.
b) Escribir la tabla de verdad de q ? p.
Otro conectivo com´un es “o”, llamado tambi´en disjunci´on. La disjunci´on
de p y q denotada por
p _ q;
es verdadera cuando al menos uno de p, q es verdadero. Este es llamado el
“o inclusivo ”. Observemos que en la conversaci´on habitual se usa a menudo
“o”en el sentido exclusivo, esto es, v´alido s´olo cuando exactamente una de las
subproposiciones es verdadera. Por ejemplo, la verdad de “cuando me llames
estar´e en el dormitorio o paseando al perro”no incluye usualmente ambas
posibilidades. En matem´atica se usa siempre el “o”en el sentido inclusivo y
su tabla de verdad es la siguiente :
p q p _ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Dada cualquier proposici´on p, se puede formar una nueva proposici´on con el
valor de verdad opuesto, llamado la negaci´on de p, que se denota por
:p:
Tambi´en se lee :“no p”. La tabla de verdad es
p : p
V F
F V
8 CAP´ITULO 1. L ´ OGICA
Ejemplos
a) 3 + 5 > 7.
b) No es el caso que 3 + 5 > 7.
c) 3 + 5 · 7.
d) x2 ¡ 3x + 2 = 0 no es una ecuaci´on cuadr´atica.
e) No es verdad que x2 ¡ 3x + 2 = 0 no es una ecuaci´on cuadr´atica.
f) x2 ¡ 3x + 2 = 0 es una ecuaci´on cuadr´atica.
Observemos que (b) y (c) son negaciones de (a); (e) y (f) son negaciones de
(d). Sin embargo, (c) y (f) se prefieren sobre (b) y (e) respectivamente.
Se usar´a la misma convenci´on para : que como para ¡ en ´algebra, esto
es,
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