Calculo Vectorial

Suma y diferencia de vectores (G.I.A.)

Contenido

[ocultar]•1 Enunciado

•2 Solución ◦2.1 Teoremas del seno y del coseno

◦2.2 Suma de los vectores

◦2.3 Resta de los vectores

◦2.4 Resolución usando una base cartesiana

1 Enunciado

El vector \vec{a} tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 36.0^{\circ} con el eje X, mientras que el vector \vec{b} tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje X. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.

2 Solución

2.1 Teoremas del seno y del coseno

El triángulo de la derecha nos sirve para ilustrar los enunciados del teorema del seno y del teorema del coseno.

Teorema del seno: dado un triángulo de lados a, b, c, con ángulos \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, indicados en la figura, se cumple

\dfrac{a}{\,\mathrm{sen}\, \hat{A}}= \dfrac{b}{\,\mathrm{sen}\, \hat{B}}= \dfrac{c}{\,\mathrm{sen}\, \hat{C}}

Vemos que relaciona cada lado con el seno del ángulo opuesto a ese lado.

Teorema del coseno: dado el triángulo de la figura, la longitud de un lado se expresa como función de las longitudes de los otros dos lados y del ángulo opuesto como

\left. \begin{array}{l} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}\\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\hat{B}\\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\hat{C} \end{array} \right.

2.2 Suma de los vectores

Vamos a hacer la suma gráficamente. Para ello, podemos colocar un vector detrás de otro y unir el punto de partida con el punto final. Como se observa en la figura, obtenemos un triángulo cuyo tercer lado es el vector \vec{c}=\vec{a}+\vec{b} que buscamos. De este triangulo conocemos las longitudes de los lados correspondientes a los vectores \vec{a} y \vec{b} y el ángulo δ que forma el vector \vec{a} con el eje X. Para determinar gráficamente el vector suma necesitamos calcular su módulo (la longitud del lado del triangulo) y el ángulo que forma con el eje X (γ = δ + β).

Usando el teorema del coseno calculamos el módulo del vector \vec{c}

c=(a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\delta)^{1/2}

Una vez conocido c calculamos el ángulo β usando el teorema del seno

\dfrac{c}{\,\mathrm{sen}\,\delta}=\dfrac{b}{\,\mathrm{sen}\,\beta}\Longrightarrow \,\mathrm{sen}\,{\beta} = \dfrac{b}{c}\,\mathrm{sen}\,\delta

Sustituyendo los valores numéricos dados por el enunciado obtenemos

\left. \begin{array}{l} c=(a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\delta)^{1/2}=4.13\\ \\ \beta = \mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{b}{c}\,\mathrm{sen}\,\delta\right)=85.0^{\circ}=1.48\,\mathrm{rad}\\ \\

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