Calculo Vectorial

1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.

REPRESENTACIÓN DE LAS OPERACIONES EN R2 Y R3.

DIRECCION DE LOS VECTORES.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Definición: la dirección de un vector u=(a,b) es el ángulo medio en radianes que forma el vector con el eje positivo de las x.

El ángulo se puede medir haciendo tanq=b/a; pero es importante localizar el vector puesto que q=tan-1b/a da valores entre -p/2 y p/2 mientras que el ángulo buscado estará entre 0 y 2p

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Ejemplo 1: encontrar la direccion del vector (-Ö3,1) tanq=-1/Ö3=-p/6; sin embargo el vector esta en segundo cuadrante; por lo tanto el angulo q sera de p-p/6=5p/6.

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REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES.

para vectores posición la suma u+v es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores u y v. La resta u-v o v-u es el vector representado por la otra diagonal (al hacer v-u el punto final del vector es v y el inicial es u, por eso la flecha, si fuera u-v el punto final sería el de u y el vector tendría la dirección opuesta).

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1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.

Se denomina campo en general, a toda magnitud física cuyo valor depende del punto del plano o del espacio, y del instante que se considere. Si la magnitud definida así en un punto del espacio es escalar, el campo es escalar; si fuera vectorial, sería un campo vectorial.

CAMPO VECTORIAL

Es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una flecha, con una magnitud dada y la dirección, que se adjunta a cada punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de algunas fuerzas, como la magnética o gravitatoria, la fuerza a medida que cambia de punto a punto.

Los campos vectoriales se puede considerar como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variación del volumen de un flujo) y la curvatura (que representa la rotación de un flujo).

Un campo vectorial en un dominio en el n -espacio de dimensión euclidiana se puede representar como un vector de función con valores que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una bien definida la ley de transformación al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales se discuten a menudo sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, sino también tener sentido en otros subconjuntos tales como superficies, donde se asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector de la tangente). De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables, que son espacios que se ven como el espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero pueden tener una estructura más compleja a escalas mayores. En este contexto, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del fibrado tangente a la variedad los campos vectoriales sobre subconjuntos del espacio euclidiano.

Dado un subconjunto S de R n, un campo de vectores se representa mediante un vector de función con valores de V: S→Rn en la norma coordenadas cartesianas ( x 1 , …, x n ). Si S es un conjunto abierto, entonces V es una función continua, siempre que cada componente de la V es continua, y más en general, V es C k campo vectorial si cada componente V es k veces continuamente diferenciable.

Un campo vectorial se puede visualizar como una n -dimensional del espacio con un n dimensiones vectores adjunta a cada punto. Dadas dos C k vectores campos V , W definido en S y un verdadero valor C k-función f definida sobre S , las dos operaciones de multiplicación y suma de vectores escalares.

Definir el módulo de C k campos de vectores en el anillo de C k-funciones.

CAMPOS ESCALARES

Se visualiza mediante las superficies de nivel o isoescalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cueles la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo: T(x, y, z)=cte

Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que según la magnitud física que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por: T(x, y)=cte las isobaras se definen por: P(x, y)=cte.

Los campos vectoriales representan magnitudes de carácter vectorial: A (x, y, z, t).Entre éstos cabe citar el campo de velocidades en un fluido: v (x, y , z, t)., el campo eléctrico, el gravitatorio, el magnético… De manera análoga a los campos escalares, se dice que un campo vectorial es estacionario cuando la magnitud característica del mismo no es función del tiempo, como por ejemplo el gravitatorio: g (x, y, z) y el electrostático: E (x, y, z).Entre los campos vectoriales son especialmente importantes los campos de fuerzas. Se dice que en una cierta región del espacio hay un campo de fuerzas cuando en todo punto de la misma hay una fuerza que toma un valor diferente para cada punto y en cada instante de tiempo. A partir de ahora nos referiremos a los campos estáticos de fuerzas. Se suele definir un campo de fuerzas por unidad de agente sensible que se denomina intensidad del campo de fuerzas:

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1.3 La geometría de las operaciones vectoriales.

Cálculo vectorial es una rama de las matemáticas relacionadas con la diferenciación y la integración de campos vectoriales, sobre todo en tres dimensiones del espacio euclidiano el término “cálculo vectorial” a veces se utiliza como sinónimo para el tema más amplio de cálculo multivariable, que incluye el cálculo de vectores, así como la diferenciación parcial y la integración múltiple. Se utiliza ampliamente en la física y la ingeniería, especialmente en la descripción de los campo selectromagnéticos, los campos gravitatorios y el flujo de fluidos. Cálculo vectorial se desarrolló a partir cuaternión análisis por J. Willard Gibbs y Oliver Heaviside cerca del final del siglo 19, y la mayor parte de la notación y la terminología establecida por Gibbs y Edwin Bidwell Wilson en su libro de 1901, Análisis de Vector. En la forma tradicional con productos cruzados, cálculo vectorial no generaliza a dimensiones más altas, mientras que el enfoque alternativo de álgebra geométrica, que utiliza productos de exterior se generaliza, como se analiza más adelante.

OBJETOS BÁSICOS

Los objetos básicos en cálculo vectorial son campos escalares (las funciones con valores escalares) y campos de vectores (vector con valores de funciones). Estos se combinan o se transforman en diversas operaciones, e integrada. En los tratamientos más avanzados, una más distingue pseudovector campos y pseudoescalar campos, que son idénticos a los campos vectoriales y campos escalares, salvo que cambie de signo en virtud de un inversor de mapa de orientación: por ejemplo, la curvatura de un campo vectorial es un campo pseudovector, y si se reflexiona un campo vectorial, los puntos de curvatura en la dirección opuesta. Esta distinción se aclara y elaborado en el álgebra geométrica, como se describe a continuación.

OPERACIONES ALGEBRAICAS

Las algebraicas básicas (no diferencial) en las operaciones de cálculo vectorial se conocen como álgebra vectorial, se define un espacio vectorial y luego a nivel mundial se aplica a un campo de vectores, y consisten en:

-Multiplicación escalar: multiplicación de un campo escalar y un campo de vectores, produciendo un campo vectorial: av.;

Además de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1+v2.;

-producto de punto: multiplicación de dos campos vectoriales, producioendo un campo escalar: v1*v2;

-producto vectorial: multiplicación de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1xv2.

1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades.

OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES.

Suma y resta de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la “saliente”, del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

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Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.

PROCEDIMIENTO GRAFICO

Para sumar dos vectores de manera grafica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consiste en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia

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