CALCULO VECTORIAL

CALCULO VECTORIAL

INDICE

UNIDAD 5 INTEGRACION

INTRODUCCION_______________________________________ [PAG. 3]

5.1 INTRODUCCION___________________________________ [PAG. 4, 5]

5.2 INTEGRAL DE LINEA______________________________ [PAG. 5, 6, 7, 8]

5.3 INTEGRALES INTERADAS DOBLES Y TRIPLES__ [PAG. 8, 9, 10, 11]

5.4 APLICACIONES A AREAS Y SOLUCION DE PROBLEMA____________________________________________ [PAG. 11, 12, 13]

5.5 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES [PAG. 13, 14, 15]

5.6 COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS________ [PAG. 15, 16]

5.7 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS____________ [PAG. 17, 18]

CONCLUSION_________________________________________ [PAG. 19]

BIBLIOGRAFIA________________________________________ [PAG. 20]

INTRODUCCION

En esta unidad 5 analizaremos y comprenderemos como tema principal “La integración” un tema claro que asume a lo que es una integral que efectivamente es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Una integral puede ser de diferentes tipos: integral de línea o curvilínea, iteradas dobles y triples que efectivamente pude ser en coordenadas polares, cilíndricas, etc. Un ejemplo de integral es una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Todo esto puede ser visto en diferentes formas con diversas aplicaciones de las integrales.

La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida. En el ejemplo anterior hemos mostrado una integración indefinida iterada.

Cabe mencionar que los grandes científicos como: Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Aportaron y generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Todo este contenido pero con mas subtemas ampliamente informativos lo daremos a conocer en esta investigación lo mejor posible, de manera clara siendo lo mas explicable.

¡Lo invito a leerla!

UNIDAD 5 INTEGRACION

5.1 INTRODUCCION

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. el cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René descartes, Isaac newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral Es igual al área de la región del plano (x,y) limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.1

La integración es un método para la obtención de una función o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma función. Esto significa que si la función dada es f(x), mediante integrarla obtendríamos g(x). Ahora bien, si g ‘(x) es el diferencial de la función g(x) entonces g’ (x) y f (x) son la misma función en sí. El proceso de integración es el inverso de la diferenciación.

El símbolo se utiliza para denotar la función de integración. Sea f(x) el coeficiente diferencial de una función F(x) con respecto a x entonces, Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos, dy = f(x) dx = d [F(x)] y = f(x) dx = F(x). Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x). Aquí f(x) dx es leída como la integral de f(x) dx. En la ecuación anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o función primitiva de f(x). Además la integración de f(x) con respecto a x es F(x). Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas.

Esto significa que el método de integración se utiliza para sumar el efecto de una función que varía continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable.

Es de notar que el álgebra ordinaria no proporciona algún método para sumar el efecto de una función que varíe. La integración es de dos tipos, integración indefinida e la integración definida.

Cuando una función es integrada dentro de los límites definidos, la integral se denomina integral definida.

5.2 INTEGRAL DE LINEA

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada. También es conocida por los nombres de integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc. Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración. Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integrados utilizando este método. Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,

• el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,

• o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.

Integral curvilínea de un campo escalar

Integral de línea de un campo escalar

Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t [a, b], está definida como:

Donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.

Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Integral curvilínea de un campo vectorial

Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t [a, b], está definida como:

Donde es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

Donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par donde

Es una 1-forma.

Independencia de la curva de integración

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

Entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

Con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.

Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar

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