Calculo de variaciones: ejercicio desarrollado
Enviado por Fiorela Salas • 9 de Mayo de 2019 • Tareas • 2.537 Palabras (11 Páginas) • 114 Visitas
TALLER #02
Hallar la distancia optima entre el origen (0,5) y la curva terminal , t > 0[pic 1]
El problema se plantea como:
= [pic 2][pic 3]
Sujeto a:
[pic 4]
[pic 5]
Se trata de hallar la ecuación del camino y(t); tal que exprese la distancia optima entre el origen (0.5) y la curva terminal Y (T).
SOLUCIÓN
- Sea la funcia intermedia definida por f.
[pic 6]
[pic 7]
- Sabemos que la ecuación de Euler-lagrange es:
y’’+………………………………(2)[pic 8][pic 9]
Derivamos con respecto a (1)
……………………. (3)[pic 10]
……………………(4)[pic 11]
[pic 12]
………………………(5)[pic 13]
Sustituyendo (3),(4) y (5) en la versión desarrollada de la ecuación de Euler tenemos:
y’’+[pic 14][pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Luego Integrando con respecto a t:
[pic 18]
…………………..(6)[pic 19]
Volvemos a integrar:
[pic 20]
…...……………..(7)[pic 21]
La ecuación (7) muestra un CONJUNTO DE TRAYECTORIAS ADMISIBLES DE ESTADO
Aplicamos condiciones inicial y terminal
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Luego de tenemos lo siguiente:[pic 25]
[pic 26]
Aplicamos las condiciones de transversalidad.
…………………… VER EN ANEXO 01[pic 27]
Reemplazamos los valores obtenidos:
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
…………………………………………(8)[pic 32]
DE (8) OBTENDREMOS:
Sabemos: , reemplazando [pic 33][pic 34]
………………………….(8*)[pic 35]
EL VALOR DETERMIADO ES:
[pic 36]
REEMPLAZAMOS (8*) EN (7)
[pic 37]
………………………(9)[pic 38]
TENEMOS LA CONDICION TERMINAL.
………………………………(10) [pic 39]
ENTONES IGUALAMOS (9) Y (10)
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
RESOLVIENDO OBTENEMOS:
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
……………… Tomamos el valor positivo por que el instante final del horizonte temporal no puede tomar un valor menor a ``0`` (según la teoría económica)
- Teniendo el valor del instante final del horizonte temporal, lo reemplazamos en (8*):
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
ENTONCES LA TRAYECTORIA DE ESTADO SERA:
[pic 49]
Este es el VALOR ÓPTIMO DE LA FUNCIONAL.
Habiendo obtenido la trayectoria óptima de estado (extremal) es posible encontrar el valor asociado en el funcional.
[pic 50][pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
El costo o beneficio del funcional (función óptima) es 2.55
También representa el valor mínimo o máximo del funcional.
[pic 57]
CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN (CSO):
Aplicamos la CSO para determinar el máximo o mínimo del funcional para ello es necesario evaluar convexidad/concavidad de la función intermedia.
Recordamos:
- Max [pic 58]
- Min [pic 59]
Entonces:
Tenemos la función intermedia
[pic 60]
La matriz Hessiana asociada a la función intermedia tiene la forma:
[pic 61]
...