Calculo numerico

                                [pic 1]

UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE

Facultad de Ciencias Básicas

Escuela de Pedagogía en Matemáticas y Computación

Cálculo Numérico

INFORME DE UN MODELAMIENTO A TRAVÉS DE UNA EDO CON PVI

Talca, Chile. Agosto  2020

PROBLEMA EDO:

En la fabrica  cerámicas Toro, un material cerámico el cual será usado para la fabricación de loza se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750°C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200°C. Si  la temperatura de la sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5°C, después de 15 min, la temperatura del material es de 600°C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?

Solución:

Ordenando los datos obtenidos, tenemos:

 ,  y [pic 2][pic 3][pic 4]

Para resolver este problema debemos utilizar la Ley de enfriamiento de Newton que señala que:

[pic 5]

Donde T es la temperatura de un cuerpo respecto al tiempo,constante de proporcionalidad yconstante de la temperatura ambiente.[pic 6][pic 7]

Usando los datos iníciales obtenemos lo siguiente:

[pic 8]

[pic 9]

Reescribiendo tenemos que:

                            [pic 12][pic 10][pic 11]

Integrando en ambos lados obtenemos:

                                   [pic 15][pic 16][pic 13][pic 14]

                         [pic 17][pic 18]

Aplicamos la función exponencial en ambos lados de la ecuación:[pic 19]

                         [pic 20][pic 21]

Usando  :[pic 23][pic 24][pic 22]

                                                [pic 25][pic 26][pic 27]

 [pic 28]

Reemplazamos:

[pic 29]

Luego, utilizaremos la segunda temperatura que se nos entrega   y reemplazamos:[pic 31][pic 32][pic 30]

                                          [pic 33][pic 34][pic 35]

Aplicamos la función logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:

                      [pic 38][pic 36][pic 37]

Entonces la función que modela la temperatura del objeto con respecto al tiempo es:

[pic 39]

Como el material a lo mucho debe estar a 200°C para entrar a la segunda etapa del proceso, igualaremos la función la temperatura mencionada anteriormente.

                    [pic 42][pic 40][pic 41]

  Entonces el material cerámico  estará listo aproximadamente 89.958702  minutos o escrito de otra forma seria en 1 hr: 29 min para poder entrar en la segunda etapa del proceso[pic 43]

Método numérico.

Para la utilización del método de Euler, necesitamos verificar la EDO como un problema bien planteado, para ello se planteara la función de la siguiente forma y se analizará la existencia y unicidad de esta:

  ; [pic 44][pic 45]

Existencia:

Sea [pic 46]

[pic 47]

Donde  es continua en  con cualquier b, ya que es una función lineal.[pic 48][pic 49]

Por lo tanto, en el intervalo 0 ≤ t ≤ 90 existe una solución T(t) del Problema de valor inicial.

Unicidad:

Si  y  es continua en un rectángulo  existe un  en el cual existe solución única  del PVI.[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

Entonces como , es continua en , se tiene que la solución es única.  [pic 55][pic 56]

Ya que se cumplen las dos condiciones que se mencionaron anteriormente, las cuales son existencia y unicidad, se puede deducir que la EDO de problema de valor inicial presentada es un problema bien planteado.

Entonces empleando el método de Euler tenemos que:

[pic 57]

Sustituyendo nuestros valores se obtiene que

[pic 58]

Si consideramos entonces  y [pic 59][pic 60][pic 61]

De esta forma al obtener un tamaño de paso pequeño, nuestro error al momento de usar el método bajara considerablemente.

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