Calculo Numerico

La representación gráfica de datos experimentales facilita en muchas ocasiones encontrar la relación matemática entre las magnitudes graficadas, y establecer una ley. En algunos casos la gráfica en si sustituye a la ecuación que representa en el proceso de predicción del valor que tomará una magnitud bajo ciertas condiciones. La interpolación y la extrapolación permiten dicha predicción aun para puntos que no representan datos experimentales.

El siguiente ejemplo ilustra la utilidad de la representación gráfica de datos.

Sea un trineo que se desliza en línea recta hacia arriba por una pendiente de nieve. Cuanto más arriba está el trineo más lentamente se desliza; llegado un momento se para, y posteriormente comienza a deslizarse hacia abajo por la pendiente.

Midiendo la posición del trineo cada segundo durante ocho segundos se obtienen los datos y gráfica abajo representados.

El gráfico obtenido permite, por ejemplo, determinar la posición del trineo a los 2.5 segundos, o a los 9 segundos.

Procedimientos adecuados de tratamiento de datos experimentales permiten determinar que la curva arriba representada esponde a la ecuación:

X(t) = 18 m + ( 12 m/s)t – ( 1.2m/s2) t2

La relación entre la posición y el tiempo es entonces cuadrática.

Supongamos que durante el mismo intervalo de tiempo medimos la velocidad instantánea de trineo, usando, por ejemplo, un radar infrarrojo de mano,

El gráfico muestra que la relación de la velocidad con el tiempos es lineal e ilustra como ésta fue disminuyendo hasta hacerse cero, para después aumentar de valor, pero con un sentido opuesto al inicial.

v = 6 + 9.8 t

que representa un lanzamiento vertical y hacia arriba, con velocidad inicial de 6 m/s y bajo los efectos de una desaceleración gravitacional de 9.8 m/s2.

Mínimos cuadrados

El resultado del ajuste de un conjunto de datos a una función cuadrática.

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

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