Calculo Numerico

METODO DEL PUNTO FIJO

METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE

1. METODO DEL PUNTO FIJO

Un punto fijo de una función , es un número tal que . El problema de encontrar las soluciones de una ecuación y el de encontrar los puntos fijos de una función son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontar las soluciones de una ecuación , podemos definir una función con un punto fijo de muchas formas; por ejemplo, . En forma inversa, si la función tiene un punto fijo en , entonces la función definida por posee un cero en .

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial y genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación . A la función se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión converge siempre y cuando .

Ejemplo

Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación dentro del intervalo .

Lo primero es buscar una función adecuada

0

Y claramente elegimos como función iteradora a

además observe que

para toda , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

La implementación de este método en Excel es realmente simple, como veremos.

1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2.

2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones:

3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.

En la figura 10 se muestran los resultados generados por este método.

Figura 10: Iteración de punto fijo.

Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora no siempre es fácil.

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al eje en un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .

Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos :

Y despejamos :

Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

, si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de !

Ejemplo 1

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .

Solución

En este caso, tenemos que

De aquí tenemos que:

Comenzamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%

De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:

Ejemplo 2

Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta

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