Como se da la Optimization dinámica

es posible que hayamos representado en la figura 1.2 cuando, por ejemplo, solo cinco caminos posibles desde A a Z. cada posible camino ahora visto para viajar a través de un número infinito de etapas en el intervalo [0,T].Cada etapa es el resultado de una elección particular echa en una etapa especifica.

Para la concreción, visualicemos figura 1.2 para ser un mapa de un terreno abierto, con la etapa de la variable que representa la longitud, y la variable que representa la latitud. Está tarea asignada es lo transporte de carga f de carga de la ubicación de la a A la ubicación de Z a costo mínimo por costos seleccionados una ruta de viaje adecuada. El costo asociado con cada posible camino depende, en general, no sólo en la distancia recorrida, sino también en la topografía en ese camino sin embargo, en el caso especial donde el terreno es completamente homogéneo, por lo que el transporte de costos por milla es una constante, el costo mínimo problema simplemente se reducen a una corta distancia problema. La solución en ese caso, es una línea recta, camino, porque ese camino implica el menor coste total (tiene el más bajo camino valor). La línea recta solución es, por solución es, por supuesto, también conocido, tanto para que una generalmente lo acepta sin exigentes para ver una prueba de ello. en el siguiente capítulo (segundos. 2.2, ejemplo 4), vamos a probar este resultado utilizando el cálculo de las variaciones, la elástica acercamiento a la continua la versión de la dinámica de optimización.

Para la mayoría de los problemas discutidos a continuación, representará el tiempo, luego las curvas en la Fig. 1.2 mostrarán las rutas de acceso. Como ejemplo concreto, considere una empresa con un stock de capital inicial igual a A tiempo 0 y un stock de capital objetivo predeterminado igual a Z en el momento T. Muchos planes de inversión alternativos durante el intervalo de tiempo lo, TI son capaces de alcanzar el capital objetivo en el tiempo T. Y cada plan de alternativo implica un camino de capital específico y conlleva un beneficio potencial específico para la empresa. En este caso, podemos interpretar las curvas de la figura 1.2 como posibles rutas de capital y sus valores de ruta como las ganancias correspondientes. El problema de la empresa es identificar el plan de inversión -de ahí el capital- que produce el máximo beneficio potencial. La solución del problema dependerá, por supuesto, de la forma en que el beneficio potencial esté relacionado y determinado por la configuración de la ruta de capital. De la discusión anterior, debe quedar claro que, independientemente de si las variables son discretas o continuas, un tipo simple de problema de optimización dinámica contendría los siguientes ingredientes básicos:

1. Un punto inicial dado y un punto terminal determinado

2 .Un conjunto de trayectos admisibles desde el punto inicial al punto terminal

3. Un conjunto de valores de ruta que sirven como índices de rendimiento (costo, beneficio, etc.) asociados con las diversas rutas y

4. a objetivo especificado: maximizar o minimizar el valor de ruta o el índice de rendimiento eligiendo la ruta óptima.

El concepto de funcionalidad

La relación entre caminos y valores de ruta merece nuestra atención, ya que representa un tipo especial de m desde números reales hasta en la función de mapeo habitual. Pero caminos (curvas) a números reales (índices de rendimiento). Pensemos en los caminos en cuestión como caminos del tiempo, y denoten (t),(t), y así sucesivamente. Entonces el mapeo es como se muestra en la figura 1.3, donde ,  representa los valores de ruta asociados. La notación general para el mapeo debe ser, por lo tanto, V[y (t)]. Pero debe enfatizarse que este símbolo difiere fundamentalmente del símbolo de la función compuesta g[ f (x)]. En este último, g es una función de f, y f es a su vez una función de r: así, g está en la función final una función x símbolo V[y(t)]. Por otro lado, el componente y(t) viene en la unidad -para indicar de tiempo- y hay una integral que no deberíamos tomar V como una función de t. En su lugar, V debe entenderse como una función de "y (t)”.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Como tal mapeo se da de manera distinta Para aclarar esta diferencia, este tipo de nombre: funcional. Para evitar aún más confusión, muchos escritores omiten la "(t)” parte del símbolo, y escriben el funcional como V[y] o V{U}, por lo tanto subrayando el hecho de que es el cambio en la posición de toda la trayectoria y -la variación en y camino- en comparación con el cambio en t, eso da como resultado que el empleado sea .Tenga en cuenta que cuando hay un cambio en el valor de trayectoria V. El símbolo V[Y(t)]nosotros y(t) aparece cuando el símbolo y se usa para componente viene como una unidad integral, para indicar el tiempo para el cual no deberíamos V ser una función de t. En cambio, se debe entender que V es una función de "y (t)" como tal.

Para dejar en claro esta diferencia, este tipo de mapeo recibe un nombre distintivo: funcional. Para evitar aún más confusión, muchos escritores omiten la "(t)” parte del símbolo y escriben el funcional como V[y] o V{Y}, lo que subraya el hecho de que es el cambio en la posición de todo el camino- la variación en él y ruta- en contraste con el cambio en t, que resulta en un cambio en el valuado en V. El símbolo emplea Note que cuando el símbolo y se usa para indicar un cierto estado, tiene el sufijo, y aparece como, por ejemplo, y (0) para el estado inicial o y (T) para el estado terminal. Por el contrario, en la connotación de ruta, a en y(t) no se le asigna un valor específico. A continuación, cuando queremos enfatizar el intervalo de tiempo específico involucrado en una

ruta o un segmento de la misma, utilizaremos la notación y [O, T] o y [O, T). Con más frecuencia, sin embargo, simplemente usaremos el símbolo y (t), o usaremos el término "y ruta". La ruta de tiempo óptima se denota entonces con y * (t), o t ellos y* camino. Como un aparte, podemos notar que aunque el concepto de funcional ocupa un lugar prominente principalmente en la optimización dinámica, podemos encontrar ejemplos de él incluso en economía elemental. En la economía de la empresa, el resultado que maximiza el beneficio se encuentra en la regla de decisión MC = MR (costo marginal = ingreso marginal). Bajo condiciones puramente competitivas, donde las curvas MR son horizontales como en la figura 1.4a, cada curva MR puede ser representada por un precio específico, determinado exógenamente,  .Dada la curva MC, podemos expresar la salida óptima como Q * = Q * (), que es una función, mapeando un número real (precio) en un número real (salida óptima). Pero cuando las curvas de MR tienen pendiente descendente bajo una competencia imperfecta, la producción óptima de la empresa con una curva MC dada dependerá de la posición específica de la curva MR. En tal caso, dado que la decisión de salida implica un mapeo de curvas a números reales, de hecho tenemos algo en la naturaleza de un funcional: Q * = Q * [MR]. Es, por supuesto, precisamente debido a esta incapacidad para expresar el resultado óptimo en función del precio lo que hace que sea imposible trazar una curva de oferta para una empresa en competencia imperfecta, como lo podemos hacer para su contraparte competitiva.[pic 5][pic 6]

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