Comparación de Curvas Planas

Comparación de Curvas Planas

En los ejercicios 33 a 36 determinar toda la diferencia entre las curvas de las ecuaciones paramétricas. ¿son iguales las gráficas? ¿Son iguales las orientaciones? ¿Son suaves las curvas?

33.a)

x=t

y=2t+1

[pic 1]

[pic 2]

Su dominio va de (-∞, ∞) 

Su orientación es hacia arriba. Es una curva suave.

33.b)

X=cosθ

Y= 2cosθ+1

[pic 3]

A diferencia de la primer grafica esta va con dominio de -1≤cosθ≤1 por lo tanto -1≤x≤1 gracias a esto -1≤y≤ 3. Sea nuestra curva lo positivo a la primera, es decir, no es suave y por lo tanto su orientación oscila en los puntos 0, pi, 2pi, etc.

33.C)[pic 4]

x= e-t[pic 5]

y= 2e-t+1

El dominio va desde:

X>0

Y>1

La dirección va hacia abajo y es una

Curva suave.

33.D)[pic 6]

x= et

y= 2et+1

El dominio va desde:[pic 7]

X>0

Y>1

La dirección va hacia arriba y es una

Curva suave, en cuanto a la dirección,

Las graficas son diferentes.

34.a)

X=2 cosθ

Y= 2sen θ

[pic 8]Se forma un círculo de radio 2, sin embargo, el circulo unitario nos menciona que: θ va de 0 a 2π, mientras que sen y cos representan la distancia y x. siendo este nuestro valor inicial y final para la ecu. Curva en GeoGebra.

[pic 9]

34.b)

x=[pic 10]

y= 1/t

[pic 11]

[pic 12]

 [pic 13]

Graficando la siguiente ecuación nos queda un arco de círculo de radio 2, centrado en 0,0, donde y ≤2 y x≥ 0, con una abertura en (2,0). Al estar incompleto, las propiedades son las mismas, pero la grafica no. [pic 14]

34.C)

   [pic 16][pic 15]

y= [pic 17]

Despejamos la ecuación despejando t:

t= x2 por lo tanto y=2[pic 18]

Radio 2 centrado en 0,0

34.D)[pic 19]

 x=-√4-e2t

y= et

Sustituimos en y luego de evaluar el límite en et

Sustituyendo en x: In(y)= t , t≤ In (2)

x=-√4-y2 

sea x>0 , x≤0

Las curvas de los incisos son suaves, sin embargo, las gráficas

son diferentes, pero, abarcan distintos segmentos del mismo círculo.

35.A) x=cosθ , y= 2sen2θ   0<θ<π

Tomando en cuenta que las curvas son iguales en 0<θ<π y aplicando funciones trigonométricas como:  sen2θ+cos2θ=1

Procedemos a despejar para x y.

x=cosθ__________ cosθ=x2

y= 2sen2θ _______sen2θ=y/2

x2+y/2=1

y=2(1-x2) por lo tanto la dirección será de derecha a izquierda.

[pic 20][pic 21][pic 22]

Debido a que el parámetro es igual, y los cálculos anteriores son los mismos para cos(-θ).

La dirección y grafica son idénticas, es decir, va de derecha a izquierda.

36.a)

x=t+1

Y=t3

Despejando el parámetro t: t=x-1

Sustituyendo en y=t3= (x-1)3 Graficamos la ecuación:

[pic 23]

Determinamos que es una

Curva Suave.

36.b)

X=-t+1

Y=(-t)3

Despejamos t:  t= -x+1

Sustituyendo en y=(-(-x+1))3

y=(x-1)3

Si bien analizamos, ambas ecuaciones a graficar son las mismas, por lo tanto, a y b son las mismas, siendo de curvas suaves, pero de direcciones opuestas.

...