Componentes principales

COMPONENTES PRINCIPALES

1.- Procedimiento

El método de componentes principales tiene por objeto transformar un conjunto de p variables, [pic 1], [pic 2],…, [pic 3], que denominamos variables originales, en un nuevo conjunto de p variables, [pic 4], [pic 5],…, [pic 6], denominadas componentes principales, las cuales se caracterizan por estar incorreladas entre sí.

Normalmente las variables originales vienen expresadas bien en desviaciones respecto a la media o bien como variables tipificadas. En este contexto, cada componente h se expresa como combinación lineal de las variables originales

[pic 7]

Suponiendo que se tienen n observaciones de cada variable, para cada observación se verifica

[pic 8],                i = 1,…, n        (1)

y si se definen los vectores y matrices siguientes

[pic 9]        [pic 10]        [pic 11]

la expresión (1) se puede escribir en la forma

[pic 12]  ⇒   [pic 13]

Puesto que la media de cada componente h es cero, su varianza es

[pic 14]        (2)

donde [pic 15] es la matriz de covarianzas V o la matriz de correlaciones R de las variables originales según que éstas estén expresadas en desviaciones respecto a la media o estén tipificadas, respectivamente. Pues bien, los coeficientes de ponderación de la primera componente principal (h = 1), vector [pic 16], se obtienen maximizando (2) bajo la condición

[pic 17]

resultando que [pic 18]es el vector propio asociado al autovalor mayor de V (ó R). Al resto de componentes les corresponden los vectores propios asociados al resto de autovalores de V (ó R) una vez ordenados de mayor a menor, debiendo cada [pic 19] cumplir, además de la restricción

[pic 20]

la condición adicional de que

[pic 21]        

es decir, el vector propio [pic 22] asociado a la componente h-ésima debe ser ortogonal a los vectores propios obtenidos previamente.

        De todo lo anterior se deduce que si [pic 23] y [pic 24] son el autovalor y su vector propio asociado, respectivamente, correspondientes a la componente h-ésima, se tiene que su varianza es

[pic 25]

Por otro lado, una medida de la variabilidad global de las variables originales es la suma de sus respectivas varianzas que viene dada por

[pic 26]

(la expresión anterior es igual a p si [pic 27], pues las variables tipificadas tienen varianza 1). En consecuencia, la suma de las varianzas es igual a la suma de las varianzas de las componentes principales. En este sentido, la proporción de la variabilidad total recogida por la componente h-ésima viene dada por

[pic 28]                        

a) Correlación entre las componentes principales y las variables originales

        La correlación lineal entre la variable original [pic 29] y la componente principal [pic 30] viene dada por la expresión

[pic 31]                        (3)

donde

                                     [pic 32] es el vector que contiene las observaciones de [pic 33] (respecto a la media o tipificadas)[pic 34]

                                        [pic 35] es el vector que tiene un 1 en la posición j-ésima, el resto son ceros [pic 36]

...