Continuidad economia matematica
Enviado por YIANIS • 16 de Julio de 2023 • Prácticas o problemas • 1.000 Palabras (4 Páginas) • 43 Visitas
Continuidad
[pic 1]
[pic 2]
Se refiere al gráfico continuo de una función que comprende la propiedad de límites.
Se sabe que el 𝐥𝐢𝐦𝒇 𝒙 puede ser o no igual a 𝒇 𝒂 .[pic 3][pic 4]
𝒙→𝒂
Si existe 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 , también existe 𝒇 𝒂[pic 5][pic 6]
𝒙→𝒂
En consecuencia 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂 y se concluye que 𝒇 𝒙 es continua en 𝒙 = 𝒂[pic 7][pic 8][pic 9]
𝒙→𝒂
Entonces 𝒇 𝒙 es continua en 𝒙 = 𝒂 si se cumple que:
- 𝒇 𝒂 está definida / existe[pic 10]
Existe la función en a, por tanto a pertenece al dominio de 𝒇 𝒙[pic 11]
- 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 ∃[pic 12]
𝒙→𝒂
𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙 = 𝒍 𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙 = 𝒎 además, 𝒍 = 𝒎[pic 13][pic 14]
𝒙→𝒂+𝒙→𝒂−
- 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂[pic 15]
𝒙→𝒂
Si una función es discontinua, ésta puede ser removible o esencial.
Tipos de discontinuidad:
1. Discontinuidad infinita. Ocurre cuando f(x) llega a ser infinita, positiva o negativamente, cuando 𝑥 → 𝑎
Es decir, f(a) no está definida y el lim 𝑓(𝑥) ∄
𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 → ∞ cuando 𝑥 → 2[pic 16]
El gráfico de la función es asintótica f(2) no está definida
lim 𝑓(𝑥) ∄
1 𝑥→2
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 2 Discontinuidad esencial 4𝑥 𝑓 𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → 2+[pic 17][pic 18]
𝑓 𝑥 → +∞ cuando 𝑥 → 2− f(2) no está definida[pic 19]
lim 𝑓(𝑥) ∄
𝑥→2
𝑓 𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → −2+
𝑓 𝑥 → +∞ cuando 𝑥 → −2− f(-2) no está definida[pic 20]
lim 𝑓(𝑥) ∄
𝑥→−2
Discontinuidad esencial
x=-2 x=2
𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → −2+ 𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → −2− f(-2) no está definida[pic 21][pic 22]
lim 𝑓(𝑥) ∄
𝑥→−2
Discontinuidad esencial
lim 𝑓(𝑥) ∄[pic 23][pic 24][pic 25]
𝑥→2
lim 𝑓(𝑥) ∄
𝑥→−1 Discontinuidad esencial
x=-1 x=2
2. Discontinuidad finita. Ocurre cuando f(x) es finita pero cambia repentinamente en x=a
Es decir, f(a) está definida, pero el lim 𝑓(𝑥) ∄
𝑥→𝑎
Existe límite por derecha y por izquierda, pero tienden a valores diferentes, por tanto:
lim 𝑓(𝑥) ∄
𝑥→𝑎
Se trata de funciones que tienen salto o escalón.
Ejemplo. 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 → 0 cuando 𝑥 → 0+[pic 26]
1+2[pic 27]
𝑓 𝑥 → 1 cuando 𝑥 → 0− f(0) está definida[pic 28]
lim 𝑓 𝑥 = 0
𝑥→0+
lim− 𝑓 𝑥 = 1[pic 29]
𝑥→0
lim 𝑓 𝑥 = ∄
𝑥→0
Discontinuidad esencial
3. Discontinuidad de punto faltante. Ocurre cuando f(a) no está definida pero
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