Criterio De La Primera Derivada

Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos

de una función

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.

Teorema 4

Sea f una función continua en un intervalo cerrado , que es derivable en todo punto del intervalo abierto .

Sea c en tal que o no existe.

a.

Si es positiva para todo , y negativa para todo , entonces es un valor máximo relativo de .

b.

Si es negativa para toda , y positiva para toda , entonces es un mínimo relativo de .

c.

Si es positiva para todo y también lo es para todo ; o si es negativa para todo y a su vez para todo , entonces no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de .

Prueba: Al final del capítulo.

Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:

Máximo relativo en

Mínimo relativo en

En no hay ni máximo ni mínimo relativo.

En los siguientes ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último se aplica el teorema anterior.

1.

Note que f está definida para

Como entonces si y solo si , o .

Los valores críticos son , y, x=-2.

Determinemos ahora cuándo y cuándo .

Como , se deben resolver las desigualdades: , . Nos ayudamos con la tabla siguiente:

Como para y para entonces es un valor mínimo.

Como para y para entonces es un valor máximo.

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que es un mínimo relativo y que es un máximo relativo, en el dominio de la función.

2.

En este caso (¡Compruébelo!)

Luego, si y solo si , ó,

Además, no existe si .

Los valores críticos de f son , , .

Como es positivo para todo entonces para determinar cuando , y cuando , basta con analizar la expresión .

Utilizamos la siguiente tabla:

i.

Como para y como f es continua sobre ese intervalo, entonces es creciente sobre por lo que si .

Por lo tanto en un valor mínimo relativo de f.

ii.

Como para y para , entonces . es un valor máximo relativo de f.

iii.

Como si y como f es continua sobre entonces f es decreciente sobre , y por tanto cuando . Luego es un valor mínimo relativo de f.

3.

,

Se tiene que (¡Compruébelo!)

Ahora, si y solo si es decir, si .

Los valores críticos de f son , , , estos últimos por ser extremos del intervalo.

Como , y, , , y, son expresiones positivas para todo entonces el signo de estará determinado por la variación de x.

Luego se tiene:

i.

Como para y f es continua en entonces f es decreciente sobre . Luego para , y es un máximo relativo de f.

ii.

Como para y para , entonces es un mínimo relativo de f.

iii.

Como para y f es continua en entonces f es creciente en . Luego para y es un máximo relativo de f.

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