Multiplicadores de Lagrange CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS CON RESTRICCIÓN

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS CON RESTRICCIÓN

El caso bidimensional:- Como en el caso no restringido en el que usamos la matriz Hessiana y el criterio de Sylvester para determinar la naturaleza de los puntos críticos, en presencia de multiplicadores de Lagrange existe un método análogo para descubrir si un punto crítico v0 es máximo, mínimo, o punto silla.

Sea f:U⊂ℝ2→ℝ y g:U⊂ℝ2→ℝ dos curvas suaves de clase C2. Sea v0∈U tal que g(v0)= c y sea S el conjunto de nivel de g con valor c. Asumimos que \nablag(v0)≠0 y existe un número real \lambda tal que \nablaf(v0) = \lambda \nablag(v0). Para la función auxiliar h = f - \lambdag tenemos la matriz hessiana limitada:

H =

\begin{pmatrix}

0 & \frac{-\partial g}{\partial x} & \frac{-\partial g}{\partial y}\\

\frac{-\partial g}{\partial x} & \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x}\\

\frac{-\partial g}{\partial y} & \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 h}{\partial y^2}\\

\end{pmatrix}

 evaluada en v0

Si |H|>0 entonces v0 es un máximo local en f limitada a S

Si |H|<0 entonces v0 es un mínimo local en f limitada a S

Si |H|=0 entonces el criterio no concluye nada

El caso n-dimensional[editar]

Análogamente al caso bidimensional, consideramos el caso n-dimensional, Sea f:U⊂ℝn→ℝ y g:U⊂ℝn→ℝ dos curvas suaves de clase C2. Sea v0∈U tal que g(v0)= c y sea S elconjunto de nivel de g con valor c. Asumimos que \nablag(v0)≠0 y existe un número real \lambda tal que \nablaf(v0) = \lambda \nablag(v0). Para la función auxiliar h = f - \lambdag construimos la matriz hessiana limitada:

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