CRITERIO DE LA DERIVADA

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1. Cuando la derivada es positiva la función crece.

2. Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3. Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a<c<b tales que

1. f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3. f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto más a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

La función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - ε, a + ε) en el que f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - ε, a + ε). El máximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva.

La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b - δ , b + δ) en el que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b - δ , b + δ). El mínimo es entonces el punto (b, f(b)) de la curva.

A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos.

Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo.

Consecuencias

1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados.

En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0°) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f´(a) = 0 y f´(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo.

2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f´(x) = 0.

No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f´(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro.

Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da.

Así, en el punto (a, f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f´(a).

Ejemplo:

Determinación de posibles puntos extremos.

¿Qué puntos de la función f(x) = 2 x ² - 3 pueden ser extremos relativos?

Resolución:

Los posibles extremos relativos de la función f(x) = 2 x ²- 3 se obtienen al resolver la ecuación

f´(x) =2 • 2 x = 0, de donde necesariamente x = 0

Aún así no se puede asegurar si en este punto hay máximo, mínimo o ni lo uno ni lo otro. Desde luego, si hay extremo relativo éste se encuentra en el punto de abscisa x = 0 que corresponde al punto (0, - 3).

FUNCIONES CONCAVBAS Y CONVEXAS

Si f y f' son derivables en a, a es:

Cóncava

Si f''(a) > 0

Convexa

Si f''(a) < 0

Intervalos de concavidad y convexidad

Para determinar los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

1. Se calcula la derivada segunda y se hallan sus raíces.

2.

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