Tarea CNCI Actividad 3 A8-C13 Criterios de la derivada

• Clase
• 13

Cálculo diferencial

Clase 13

Criterios de la derivada

Objetivos

Objetivos

Al final de la clase serás capaz de:

• Aplicar los criterios de la primera y segunda derivada

[pic 1]

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¿Sabías que las empresas analizan las funciones y sus gráficas para entender cómo se comporta y comportará su negocio?

¿Sabías que las empresas analizan las funciones y sus gráficas para entender cómo se comporta y comportará su negocio?

Observa la siguiente gráfica.

• ¿En qué intervalos la función es creciente?
  ¿En cuál decrece?
  ¿Hay valores mínimos o máximos?
  ¿La gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo?
  ¿En qué valor cambia la concavidad?

Para contestar estas preguntas veremos algunos criterios en los que la derivada de la función juega un papel importante.

Conoce

1. Valores máximos y mínimos de funciones

La derivada tiene distintas aplicaciones, una de las más importantes es determinar los valores máximos y mínimos que puede tomar una función.

Un máximo relativo es aquel donde la función evaluada en un número es mayor a todos sus valores restantes, es decir, f(c) ≥ f(x)

[pic 2]

Una función tiene un mínimo relativo si existe número tal que al evaluarlo en la función éste sea menor que todos los valores restantes, es decir, f(c) ≤ f(x)

[pic 3]

Una función al tener un máximo o mínimo relativo en algún número c, se dice que ésta tiene extremos relativos en c.

¿Cómo podemos encontrar estos extremos relativos?
Los extremos relativos o también llamados puntos críticos se encuentran igualando a cero la primer derivada de la función.
Supongamos que tenemos la función f(x) = x²-4x+5 y tenemos que encontrar sus extremos relativos.

Primero derivamos la función

[pic 4]

Y luego igualamos a cero la derivada

Por lo tanto f(x) tiene un extremo relativo en x=2, ¿será un máximo o mínimo? Grafiquemos la función y observemos la función en x=2 para comprobar si es un máximo o mínimo.

2. Criterio de la primera derivada

Estudiaremos ahora uno de los criterios de la primera derivada, pero antes de entrar en este concepto, analicemos cuándo una función es creciente y cuándo es decreciente.

Si tenemos dos valores en una gráfica uno menor que otro y al evaluarlos en la función la desigualdad se sigue respetando, entonces f es una función creciente.

[pic 5][pic 6]

Si tenemos dos valores uno menor que otro y al evaluarlos en la función la desigualdad se invierte, entonces f es una función decreciente.

[pic 7][pic 8]

Ahora sí usaremos la primera derivada para saber cuándo una función es creciente y cuándo es decreciente, pongamos atención a lo siguiente:

Si f'(x) > 0 en el intervalo (a, b), entonces f es creciente en [a, b];
Si f'(x) < 0 en el intervalo (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].

Entonces una vez establecido lo anterior, podemos definir el criterio de la primera derivada para extremos relativos.

Criterio de la primera derivada

i) f'(x) > 0 en el intervalo de (a,c) , y si f'(x) < 0 en el intervalo (c,b), entonces f tiene un valor máximo relativo en c.
ii) Si f'(x) < 0 en el intervalo de (a,c) , y si f'(x) > 0 en el intervalo (c,b), entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.

Revisemos la siguiente información que nos ayudará a comprender más este primer criterio para las derivadas.

CNCI Virtual MultimediaCriterio de la primera derivada

A continuación se muestran algunos pasos para calcular los extremos relativos de una función.

a) Calcular f'(x).
b) Obtener los puntos críticos de f, es decir, los valores donde f'(x)=0.
c) Aplicar el criterio de la primera derivada.

Realicemos el siguiente ejemplo siguiendo cada uno de los pasos descritos anteriormente con la función: f(x) = x³-6x²+9x+1

[pic 9]

Para aplicar el criterio de la primera derivada, analizaremos cómo se comporta la derivada antes y después de los puntos críticos.

• f(x)f(x)Conclusión
• x<1 (evaluamos en un número menor a 1 para determinar el signo)Positivaf es creciente
• x = 150f tiene un valor máximo relativo
• 1 < x < 3-f es decreciente
• x = 310f tiene un valor mínimo relativo
• x>3+f es creciente

Como se puede observar en la tabla, antes del 1 la derivada es positiva y después del 1 la derivada es negativa, por lo tanto en x=1 hay un máximo relativo.
De la misma manera, antes del 3 la derivada es negativa y después del 3 la derivada es positiva, por lo tanto en x=3 hay un mínimo relativo.

3. Criterio de la segunda derivada

La segunda derivada la podemos utilizar para determinar dónde una función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, es decir, la curvatura que le daremos a la gráfica.
Gráficamente ¿Cómo sería un función cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo?

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