CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.
Enviado por Violeta Sifuentes • 23 de Noviembre de 2016 • Ensayos • 1.796 Palabras (8 Páginas) • 584 Visitas
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.
Criterio de la primera derivada Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue." 1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)). 2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). 3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
MAXIMOS Y MINIMOS
1.-Ejemplo:
Tenemos una función, y vamos a calcular el máximo y mínimo absoluto, también cuando es creciente y cuando es decreciente.
f(x)= x³-12x
lo primero que debemos de hacer es derivar, entonces derivando la función, seria:
f(x)= 3x²-12
después como segundo paso sería hacer la función igual a cero (f(x)=0) y calcular la x, a la x se le llamara un punto c (x=c), que llamaremos puntos críticos.
Entonces sería:
0= 3x²-12
Para encontrar la x podemos factorizar.
0= 3x²-12
0=3 (x²-4)
0=3 (x+2) (x-2)
Después cada factor lo igualamos a cero:
x+2=0 x-2=0
x1=-2 x2=+2
ya que tenemos nuestros puntos críticos tenemos que hacer una tabla para saber si son crecientes o decrecientes y también saber si se trata de un máximo o un mínimo en la función. El criterio es el siguiente: si la primera derivada es positiva entonces la función es creciente, si la primera derivada es negativa entonces la función es decreciente.
Ahora ordenamos los valores:
(-∞, -2) | (-2,2) | (2, ∞) |
Podemos tener un valor especifico de prueba, k así lo podemos llamar y lo que importa es el signo de la función que nos va a decir exactamente si se hará un intervalo creciente o decreciente. Ahora se elige un número que este entre esos rangos y lo sustituimos en la factorización f(x)=(x+2) (x-2):
(-∞, -2) | (-2,2) | (2, ∞) |
k -3 0 3
Ahora sustituimos:
- 2. 3.
f(-3)= (x+2) (x-2) f(0)= (0+2) (0-2) f(3)= (3+2) (3-2)
f(-3)= (-3+2) (-3-2) f(0)= (+2) (-2) f(3)= (+5) (+1)
f(-3)= (-1) (-5) f(0)= -4 f(3)= +5
f(-3)= +5
Ahora, en el resultado del primero el signo salió positivo, eso significa que en este intervalo la función es creciente, en el segundo es negativo así que es decreciente y el tercero es positivo así que es creciente.
Después se gráfica y tiene que quedar así:
[pic 1]
Tienen la curva, pero lo importante es determinar si el -2 queda directamente en la curva, eso significa que está en el punto más alto de la curva por lo tanto podemos determinar que se trata de un máximo local así que cuando va de más a menos siempre va a ser un máximo y cuando va de menos a más es un mínimo, así como en el caso de +2.
O más fácil cuando la curva este hacia abajo ese es el mínimo y cuando la curva este hacia arriba es el máximo.
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Ahora tenemos que encontrar donde la función tenga puntos de inflexión. Son los puntos donde se presentan cambio de concavidad. Para esto tenemos que sacar la segunda derivada:
f(x)= x³-12x
f(x)1= 3x²-12
f(x)²= 6x
ahora igualamos la segunda derivada a cero.
6x=0
x=-6
De esta manera encontramos el punto de inflexión que es igual a -6.
CONCAVIDADES
Ya para finalizar tenemos que determinar las concavidades de la función, estableceremos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
El criterio es el siguiente: si en un intervalo la segunda derivada es positiva, entonces tendremos que ahí la función es cóncava hacia arriba (f(x)² > 0 → U).
...