Curvas Conicas 11

Curvas cónicas II

CURVAS CÓNICAS

CONSIDERACIONES GENERALES

DEFINICIÓN

Se denomina superficie cónica de revolución, a la superficie generada por una recta denominada generatriz, al girar entorno a otra recta denominada eje.

El punto donde la generatriz corta al eje se denomina vértice V de la superficie cónica.

Si un plano , intercepta a una superficie cónica de revolución, la sección producida se denomina superficie cónica, y su contorno es una curva plana de segundo grado.

Las curvas cónicas propiamente dichas son tres Elipse, Parábola e Hipérbola.

La Elipse se genera cuando el plano  es oblicuo respecto al eje, y corta a todas las generatrices.

La Parábola se genera cuando el plano  es paralelo a una generatriz.

La Hipérbola se genera cuando el plano  es paralelo a dos generatrices. Por cuestiones didácticas y de mejor comprensión, se suele representar utilizando un plano  paralelo al eje de la superficie cónica de revolución.

ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA

En la siguiente figuras puedes apreciar mejor en rojo, las curvas cónicas obtenidas.

ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA

Al interceptar una superficie cónica de revolución con un plano, podemos contemplar dos ángulos, el formado por el eje y la generatriz, y el  formado por el eje y el plano de corte.

La relación entre estos ángulos determina el tipo cónica generada, como se puede apreciar en las figuras siguientes.

  

ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA

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CÓNICAS SINGULARES O DEGENERADAS

En función de la posición del plano de corte y las propiedades del cono, se pueden obtener otras curvas cónicas que se denominansingulares o degeneradas.

Punto Círculo Círculo 2 Triángulos Rectángulo Línea Línea

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TEOREMA DE DANDELÍN

Según el teorema de Dandelín, si trazamos las esferas tangentes interiores a la superficie cónica de revolución y al plano el que la corta, los puntos de intersección f y f' de dicha esfera con la recta r, eje de las curvas cónicas, son los denominados focos de las curvas.

Mientras en la elipse y en la hipérbola hay dos focos, en la parábola solo tendremos uno.

Elipse Parábola Hipérbola

Cónicas

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Introducción: secciones cónicas

La hipérbola como sección cónica

La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.

Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.

La elipse como sección cónica

Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).

La parábola como sección cónica

Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.

Curvas cuadráticas

Definición :

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como

donde

Una cónica queda pues definida por una matriz simétrica

En lo que sigue denotaremos por Aii a la matriz adjunta en A del elemento aii i=0,1,2 .

Ejemplo:

En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior

En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son

Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:

A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.

Clasificación de las cónicas

Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).

Si y son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces

1) det A=det A'=det A'',

2) a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,

3) det A00 = det A'00 = det A''00.

Tabla de Clasificación

det A ≠ 0

det A00 ≠ 0 det A00 > 0 signo (det A) = signo (a11+a22) Elipse imaginaria

signo (det A) ≠ signo (a11+a22) Elipse real

det A00 < 0 Hipérbola

det A00 = 0 Parábola

det A= 0

det A00 ≠ 0 det A00 > 0 Rectas no paralelas imaginarias

det A00 < 0 Rectas no paralelas reales

det A00 = 0 det A11 + det A22 ≠ 0 det A11 + det A22 > 0 Rectas paralelas imaginarias

det A11 + det A22 < 0 Rectas paralelas reales

det A11 + det A22 = 0 Rectas coincidentes

Elementos notables de las cónicas

Centro:

Polar Dado un punto P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación

Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cónica en dicho punto P.

Ejemplo:

Consideremos la cónica de ecuación

que matricialmente se escribe como

Utilizando la tabla de clasificación vemos que se trata de una elipse real puesto que

La polar del punto (1,2) será la recta

Observamos que el punto (1,2) pertenece a la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta tangente en dicho punto.

La polar del punto (1,1) es la recta

La polar del punto (3/2, 9/4) es la recta

Es posible que un punto P=(x0,y0) no tenga polar respecto a una cónica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar el sistema de ecuaciones

que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta).

Para que este sistema tenga alguna solución se ha de verificar

Además si det A00 es no nulo, entonces la solución del sistema es única y por lo tanto habría un único punto que no poseerá recta polar. Este punto se denomina centro de la cónica. No todas las cónicas tienen centro.

El centro de la cónica tiene la particularidad de ser su centro de simetría.

Si C es una elipse o una hipérbola entonces det A00 ≠ 0 y el sistema es compatible determinado lo que indica que estas cónicas tienen centro y que éste es único.

Ejemplo:

En la elipse del ejemplo anterior el centro será el punto (2,2) única solución del sistema de ecuaciones

Sin embargo si la cónica es una parábola, todos sus puntos tienen polar. La parábola es por tanto una cónica sin centro.

Polo Dada una recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a una cónica C si r es la polar de P respecto a C

Por supuesto hay rectas que no tienen polos: en la elipse y la hipérbola son todas las que pasan por el centro y en la parábola son las rectas de dirección (-a12, a11) que son además perpendiculares al vector

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