Cálculo variables. Sucesiones

Sucesiones

Una sucesión de elementos es una función, en la que el dominio es el conjunto de números naturales y su rango es un conjunto no vacío

Donde a :  ℕ → R

                n  →an

Se utiliza la notación  an , en lugar de escribir a(n) como función, las sucesiones utilizan la notación { an }.A na  a lo que se denomina como termino n-esimo de la sucesión

Ejemplo:

Sea {an}= {5+3n}  los primeros 5  términos son:        

 a1=8, a2 =11, a3=14, a4=17, a5=20

Sea {an}= {6-(2+3n)} los primeros términos son:

a1=1, a2 =-5, a3=23, a4=-77, a5=-239, a6=-725, a7 =-2183…….

Límite de sucesiones 

Una sucesión an tiene como límite L, cuando sus términos se acercan al valor L, de otra forma en una sucesión numérica { an } para que L sea su límite, a todo numero positivo mayor que cero ε>0, debe de existir un numero entero natural N tal que si n≥N, entonces |an -L|< ε

No toda sucesión tiene un límite, las sucesiones que tienden a infinito se las conoce como divergente, cuando estas tienen un límite finito se conocen  como convergentes

Teorema:

Sea f: ℝ → ℝ, tal que an = f(n) y supongamos que , entonces [pic 1][pic 2]

Teorema

Sean {an} y {bn} sucesiones, si , entonces:[pic 3]

1. , donde c ∈ ℝ.[pic 4]
2. [pic 5]
3. , si bn ≠0 y M≠0[pic 6]

Teorema (teorema del sandwich)

Sean {an} y {bn} sucesiones de números reales convergente en L, si {cn} es una sucesión real tal que an ≤  cn ≤bn , para todo  n ∈ ℕ entonces [pic 7]

Teorema (teorema de valor absoluto)

Sea {an} una sucesión de números reales. Si  entonces [pic 8][pic 9]

Teorema

Sea {an} una sucesión de números reales y f: ℝ→ ℝ, continua. Si an converge en L entonces la sucesión bn = f(an) converge a f(L)

Ejemplos

     [pic 10]

Series

Se llama sumas parciales al resultado de sumar los infinitos términos de una sucesión.

Una serie es el límite de estas sumas parciales, que al ser infinitas se conocerán como serie divergente, o en caso de tener limite se llamaran serie convergentes

La serie se expresa por , lo cual significa .[pic 11][pic 12]

Teorema

Si  entonces:[pic 13]

, donde c ∈ ℝ.[pic 14]

[pic 15]

Ejemplo:

[pic 16]

[pic 17]

La serie es divergente

Serie geométrica:

Es aquella en la que sus términos forman una progresión geométrica, en la que cada término es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón r. Su fórmula:

...