Calculo de varias variables

[pic 1]

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

TRABAJO AUTÓNOMO 5

ESTUDIANTE:

SAN LUCAS ROSERO FRANKLIN STEWARD

ASIGNATURA:

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

DOCENTE:

ING. LUIS SOTO SÁNCHEZ MSC.

GRUPO: 3-5

PERIODO LECTIVO:

2020-2021

Índice

1. Unidad 2.- Diferenciación de varias variables        1

1.1 Límites        1

1.1.1 Tipos de límites        1

1.1.2 Propiedades de los límites.        3

1.1.3 Ejemplo        4

1.2 Continuidad        4

1.2.1 Criterios para comprobar la continuidad.        4

1.3 Derivadas parciales        5

1.3.1 Ejemplos.        6

1.4 Referencias        7

1. Unidad 2.- Diferenciación de varias variables

1.1 Límites

Existen varias formas de definir el límite de una función en un punto. Nosotros vamos a utilizar sucesiones en la definición y así aprovechar todas las propiedades que hemos visto en el tema anterior. La definición de límite de una función con sucesiones va a tener siempre un aspecto similar al siguiente:

]. [pic 2]

 Para que esto valga como definición de límite, sólo tenemos que garantizarnos que existan sucesiones convergentes al punto donde tomamos límite. Recordemos que A 0 denota al conjunto de puntos de acumulación del conjunto A. Con todos estos ingredientes ya podemos dar la definición de límite de una función en un punto.

Sea A un subconjunto de R y f : A → R una función. Diremos que f tiene límite en x0 ∈ A 0 y que vale L si para cualquier sucesión {xn} de elementos de A distintos de x0 que tienda a x0 se cumple que {f(xn)} tiende a L. Caso de ser así, escribiremos:  

[pic 3]

[pic 4]

Figura 1: Representación de límite en la gráfica.

1.1.1 Tipos de límites

• Límites laterales

Límite por la izquierda de una función 𝒇 en 𝒙𝟎:

Si 𝑓 está definida a la izquierda de 𝑥0, aunque no lo esté en 𝑥0, diremos que el límite de 𝑓 cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 por la izquierda es 𝑳, si (𝑥) tiende al valor 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 por valores menores que 𝑥0, y lo escribiremos así:

 [pic 5]

Límite por la derecha de una función 𝒇 en 𝒙𝟎:

 Si 𝑓 está definida a la derecha de 𝑥0, aunque no lo esté en 𝑥0, diremos que el límite de 𝑓 cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 por la derecha es 𝑳, si (𝑥) tiende al valor 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 por valores mayores que 𝑥0, y lo escribiremos así:

[pic 6]

TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).

TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).

Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale [pic 7] en lugar de l.

• Limites en el infinito.

Límite finito.

[pic 8] [pic 9]

Límite infinito.

[pic 10] [pic 11] [pic 12] [pic 13]

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos [pic 14] en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

• asíntotas de una curva.

 Asíntotas verticales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si [pic 15] o alguno (o ambos) de los límites laterales vale [pic 16]. Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales.

...