DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
karen98765..Síntesis7 de Mayo de 2020
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DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
(CURSO VIRTUAL)
Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar algunos valores entre 2 números dados. Por ejemplo: el # de puntos que muestra la cara superior de un dado después de un lanzamiento; el # de clientes que llegan en una hora a un banco.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla, gráfica, fórmula, o cualquier otro medio que se usa para especificar todos los valores de la variable, junto con sus respectivas probabilidades.
Se deben cumplir 2 condiciones:
- P(Xi ≥ 0)
- ∑( Xi) = 1
La función de distribución acumulativa, que se denota como Fx(x) = P(X ≤ x).
En el siguiente ejemplo vamos a ver como se construye una distribución de probabilidad.
EJEMPLO:
Se lanza una moneda 3 veces y se define una variable aleatoria X como el número de caras en los 3 lanzamientos. Construir la distribución de probabilidad de la variable X .El espacio muestral en el lanzamiento de una moneda 3 veces es el siguiente:
S = {ccc, ccs, scc, csc, ssc, scs, css, sss}.
Los posibles valores de X con sus respectivas probabilidades son:
X : 0 1 2 3
P(X= x): [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
La anterior tabla es una distribución de probabilidad porque están los posibles valores de X con sus respectivas probabilidades y se cumplen las 2 condiciones.
VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORI DISCRETA
Si X es una variable aleatoria discreta que asume los valores X1, X2,….., Xn; con probabilidades respectivas p(X1), p(X2), …… , p(Xn) . El valor esperado de X se denota y define de la siguiente manera:
E (X) = ∑ Xi P(Xi)
Vamos a calcular el valor esperado para el ejemplo anterior:
E (X) = (0*1/8) + (1*3/8) +( 2*3/8 ) + (3*1/8) = 1,5 y se interpreta de la siguiente manera: el número esperado de caras en 3 lanzamientos de una moneda es 1,5.
Propiedades del valor esperado:
- El valor esperado de una constante es igual a la constante. E(C) = C.
- El valor esperado de una constante por una variable es igual a la constante por el valor esperado de la variable. E(CX) = C*E(X)
- El valor esperado de una constante por una variable más una variable es igual a la constante más el valor esperado de la variable. E(C+X) = C+ E(X).
- El valor esperado de la suma de 2 variables es igual a la suma de los valores esperados de dichas variables. E(X+Y) = E(X) + E(Y).
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Si X es una variable aleatoria discreta que asume valores X1, X2, …, Xn con probabilidades respectivas P1, P2, …, Pn; la varianza de X se denota y define de la siguiente manera:
V(X) = ∑ (Xi – E(X))²* P(Xi)
Para el ejemplo de la moneda quedaría:
V(X) = (0-1,5)²*(1/8) + (1-1,5)²*(3/8) + (2-1,5)²*(3/8) + (3-1,5)²*(1/8) = 0,75.
Propiedades de la varianza:
- La varianza siempre es positiva. V(X) ≥ 0.
- La varianza de una constante es 0. V(C) = 0.
- La varianza de una variable es igual al valor esperado de la variable al cuadrado menos el valor esperado de la variable elevado al cuadrado.
V(X) = E(X²) – (E(X))².
- La varianza de una constante más una variable es igual a la varianza de la variable.
V(C+X) = V(X).
- La varianza de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable. V(C*X) = C²*V(X).
Vamos a calcular la varianza del ejemplo anterior utilizando la propiedad 3:
E(X) = 1,5
E(X²) = (0²*1/8) + (1²*3/8) + (2²*3/8) + (3²*1/8) = 3
V(X) = 3- (1,5)² = 0,75
Si queremos calcular la desviación estándar sacamos la raíz cuadrada de la varianza
Desviación Estándar = √(0,75) = 0,866
EJERCICIO: Se lanza un dado 2 veces y se define una variable X como la suma de puntos de los 2 lanzamientos.
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