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DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

karen98765..Síntesis7 de Mayo de 2020

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DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

(CURSO VIRTUAL)

Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar algunos valores entre 2 números dados. Por ejemplo: el # de puntos que muestra la cara superior de un dado después de un lanzamiento; el # de clientes que llegan en una hora a un banco.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla, gráfica, fórmula, o cualquier otro medio que se usa para especificar todos los valores de la variable, junto con sus respectivas probabilidades.

Se deben cumplir 2 condiciones:

  1. P(Xi ≥ 0)
  2. ∑( Xi) = 1

La función de distribución acumulativa, que se denota como Fx(x) = P(X ≤ x).

En el siguiente ejemplo vamos a ver como se construye una distribución de probabilidad.

EJEMPLO:

Se lanza una moneda 3 veces y se define una variable aleatoria X como el número de caras en los 3 lanzamientos. Construir la distribución de probabilidad de la variable X .El espacio muestral en el lanzamiento de una moneda 3 veces es el siguiente:

S = {ccc, ccs, scc, csc, ssc, scs, css, sss}.

Los posibles valores de X con sus respectivas probabilidades son:

     X :         0             1             2             3

P(X= x):                                            [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

La anterior tabla es una distribución de probabilidad porque están los posibles valores de X con sus respectivas probabilidades y se cumplen las 2 condiciones.

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORI DISCRETA

Si X es una variable aleatoria discreta que asume los valores X1, X2,….., Xn; con probabilidades respectivas p(X1), p(X2), ……  , p(Xn) . El valor esperado de X se denota y define de la siguiente manera:

E (X) = ∑ Xi P(Xi)

Vamos a calcular el valor esperado para el ejemplo anterior:

E (X) = (0*1/8) + (1*3/8) +( 2*3/8 ) + (3*1/8) = 1,5 y se interpreta de la siguiente manera: el número esperado de caras en 3 lanzamientos de una moneda es 1,5.

Propiedades del valor esperado:

  1. El valor esperado de una constante es igual a la constante. E(C) = C.
  2. El valor esperado de una constante por una variable es igual a la constante por el valor esperado de la variable. E(CX) = C*E(X)
  3. El valor esperado de una constante por una variable más una variable es igual a la constante más el valor esperado de la variable. E(C+X) = C+ E(X).
  4. El valor esperado de la suma de 2 variables es igual a la suma de los valores esperados de dichas variables. E(X+Y) = E(X) + E(Y).

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Si X es una variable aleatoria discreta que asume valores X1, X2, …, Xn con probabilidades respectivas P1, P2, …, Pn; la varianza de X se denota y define de la siguiente manera:

V(X) = ∑ (Xi – E(X))²* P(Xi)

Para el ejemplo de la moneda quedaría:

V(X) = (0-1,5)²*(1/8) + (1-1,5)²*(3/8) + (2-1,5)²*(3/8) + (3-1,5)²*(1/8) = 0,75.

Propiedades de la varianza:

  1. La varianza siempre es positiva. V(X)  ≥ 0.
  2. La varianza de una constante es 0. V(C) = 0.
  3. La varianza de una variable es igual al valor esperado de la variable al cuadrado menos el valor esperado de la variable elevado al cuadrado.

V(X) = E(X²) – (E(X))².

  1. La varianza de una constante más una variable es igual a la varianza de la variable.

V(C+X) = V(X).

  1. La varianza de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable. V(C*X) = C²*V(X).

Vamos a calcular la varianza del ejemplo anterior utilizando la propiedad 3:

E(X) = 1,5

E(X²) = (0²*1/8) + (1²*3/8) + (2²*3/8) + (3²*1/8) = 3

V(X) = 3- (1,5)² = 0,75

Si queremos calcular la desviación estándar sacamos la raíz cuadrada de la varianza

Desviación Estándar  = √(0,75)   =  0,866

EJERCICIO: Se lanza un dado 2 veces y se define una variable X como la suma de puntos de los 2 lanzamientos.

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