Variable aleatoria discreta Distribución Binomial

Unidad Didáctica

Variable aleatoria discreta

Distribución Binomial

Autor: María de las Nieves Torres Gil

INDICE

1. INTRODUCCIÓN

2. TEMPORALIZACIÓN

3. OBJETIVOS

4. CONTENIDOS

Conceptos

Procedimientos

Actitudes

5. METODOLOGÍA

6. ACTIVIDADES DE DESARROLLO

7. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

8. SECUENCIALIZACIÓN DE LAS CLASES

1. INTRODUCCIÓN

Esta unidad didáctica es una introducción a los conceptos de variable aleatoria discreta, distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas y Distribución Binomial. Está diseñada para los alumnos de 2º de Bachillerato de la opción de Ciencias Sociales.

Se les enseña el concepto de variable aleatoria y distribución de probabilidad y se les muestra ejemplos de ambas cosas. También se les enseña los parámetros de la distribución: Esperanza, varianza y desviación típica.

A continuación se les enseña la distribución Binomial como ejemplo de distribución de probabilidad discreta y posteriormente se realizarán ejercicios sobre cada uno de los conceptos aprendidos.

2. TEMPORALIZACIÓN

El tiempo estimado para la realización de esta unidad didáctica es de tres clases distribuidas de la siguiente forma:

- Una clase para la explicación de variable aleatoria discreta, función de probabilidad y función de distribución

- Otra para la explicación de los conceptos de Esperanza matemática, varianza y desviación típica

- Una tercera clase otra para la explicación de la Distribución Binomial

3. OBJETIVOS

Los objetivos que pretendemos conseguir son los siguientes:

- Conocer adecuadamente el concepto de variable aleatoria discreta

- Conocer las principales características de las distribuciones discretas

- Conocer, manipular en interpretar distribuciones Binomiales

- Manejar con soltura las tablas de la Binomial para dotar de probabilidad a sucesos asociados a una variable Binomial

4. CONTENIDOS

Conceptos

- Variable aleatoria discreta

- Distribuciones estadísticas Discretas

- Distribuciones de probabilidad discretas

- Distribución Binomial

Procedimientos

- Conocer las principales características de las distribuciones discretas

- Conocer, manipular e interpretar distribuciones Binomiales

- Manejar con soltura las tablas de la Binomial para dotar de probabilidad a sucesos asociados a una variable Binomial

Actitudes

- Ser capaz de entender la teoría de probabilidades y observar su aplicación a muchos campos de la ciencias, economía y procesos rutinarios de la vida cotidiana

- Valorar la existencia de tablas de probabilidad Binomiales en la facilitación de cálculos probabilísticas

5. METODOLOGÍA

- En cada unidad se comenzará con una prueba u observación inicial para que el profesor conozca el nivel inicial de los alumnos

- Se propondrán diferentes actividades con diversos apartados en grado creciente de dificultad, para que todos los alumnos puedan afrontar el problema.

- Se trabajará en pequeños grupos para que los alumnos tengan oportunidad de discutir intercambiando opiniones y contrastando las propias. No obstante todas las actividades no se trabajarán en grupo, puesto que creemos que las individuales también son de gran importancia, pues en ellas el alumno afronta solo los problemas y comprueba el grado de sus conocimientos.

- Los alumnos y alumnas deben saber como resolver ejercicios y problemas y aplicar los conocimientos matemáticos a otros ámbitos del saber. De esta forma deben proponerse actividades relacionadas con los problemas de las ciencias

- El profesor planteará las actividades explicando el motivo de las mismas y las cuestiones nuevas o de cierta dificultad, formulará preguntas que ayuden a salir de los posibles atascos sugiriendo alguna estrategia nueva para llegar a la solución. Moderará la puesta en común para dar la oportunidad de expresarse a todos los grupos y alumnos, observará a los mismos para hacer una evaluación de su proceso de aprendizaje, realizará una síntesis de las conclusiones de cada actividad y completará los aspectos que no hayan surgido, dándoles el rigor y precisión matemáticos necesarios

6. ACTIVIDADES DE DESARROLLO

Las actividades de desarrollo consistirán en la realización de las actividades propuestas en el libro de texto, tanto las que aparecen en las distintas tareas como las que se proponen al final de la unidad, así como actividades propuestas por el profesor. La selección de actividades estará en relación con la evaluación inicial de los alumnos, con el objetivo de cumplir los objetivos previstos.

7. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

- Conocer las principales características de las distribuciones discretas, conociendo, manipulando con soltura e interpretando distribuciones binomiales

- Trabajar e interpretar con soltura las tablas de la Binomial para dotar de probabilidad a sucesos asociados a una variable Binomial

8. SECUENCIALIZACIÓN DE LAS CLASES

Primera Clase

Objetivo: En esta primera clase se pretende que los alumnos aprendan el concepto de variable aleatoria discreta y funciones de probabilidad discretas.

Contenidos: Variable aleatoria discreta y función de probabilidad de variables aleatorias discretas

Secuencia de tareas y actividades

1. La primera consistirá en introducir el concepto de variable aleatoria discreta para lo cual empezaremos con algunos ejemplos sencillos

a) Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar 3 monedas. El espacio muestral es:

E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}

Supongamos que a cada uno de estos sucesos le asignamos un número real igual al número de caras obtenidas.

Esta ley que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales.

A esta función que denotaremos X la llamaremos variable aleatoria, que representa el número de caras obtenidas en el lanzamiento de 3 monedas

b) Supongamos ahora que lanzamos dos dados; el espacio muestral es:

E = {(1, 1), (1, 2) ………(1, 6), (2, 1), ………….(6, 1), ………(6, 6) }

La ley que asocia a cada resultado la suma de los puntos obtenidos en cada dado es una variable aleatoria que toma los valores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Definición

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Diremos que una variable aleatoria es discreta cuando solo puede tomar valores enteros. Los dos ejemplos anteriores son variables aleatorias discretas

2. Lo siguiente será introducir el concepto de Función de probabilidad para ello comenzamos con un ejemplo:

Supongamos que hemos lanzado 240 veces un dado perfecto y hemos obtenido los siguientes resultados:

Cara 1 2 3 4 5 6

Nº de veces 40 39 42 38 42 39

Construimos ahora una tabla con la distribución de frecuencias absolutas y relativas y otra tabla con los resultados esperados a la vista del cálculo de probabilidades

Cara F.absoluta F.relativa Cara Nº de veces Probabilidad

1 40 0.1667 1 40 1/6

2 39 0.1625 2 40 1/6

3 42 0.1715 3 40 1/6

4 38 0.1538 4 40 1/6

5 42 0.1750 5 40 1/6

6 39 0.1625 6 40 1/6

240 1 240 1

Distribución de la frecuencia Distribución de probabilidad

Si nos fijamos en la tabla de la derecha observamos que a cada valor de la variable aleatoria le hacemos corresponder su probabilidad. A esa ley se le llama función de probabilidad o distribución de probabilidad.

Función de probabilidad

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria X a la función que asocia a cada valor de la variable su probabilidad

La representación gráfica más habitual de la función de probabilidad es un diagrama de barras no acumulativo

3. Lo siguiente que haremos será introducir el concepto de Función de distribución para empezar a realizar algunos ejercicios sobre estos tres conceptos

En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la variable aleatoria X tome exactamente un determinado valor cuanto la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor . En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución.

Función de distribución

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X y escribiremos F(X) a la función

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