Variables Aleatorias Y Distribuciones De Probabilidad

Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

En un experimento aleatorio lo que más interesa es conocer el número total de veces que se obtiene un mismo resultado en un determinado número de ejecuciones (es decir, cuantificar) y no en cuál ejecución se obtiene un determinado resultado. Es por esto que en la teoría de la probabilidad, se hace necesaria la cuantificación de los resultados cualitativos de un espacio muestral para luego, mediante el empleo de medidas numéricas, estudiar su comportamiento aleatorio.

Para facilitar estos cálculos se acude a una función que ubica el espacio muestral en el conjunto de los números reales, la cual es conocida como variable aleatoria.

Una variable aleatoria es pues, una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, tal como X.

Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).Frecuentemente el interés recae en la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular, para ello se requiere primero definir claramente la variable aleatoria. Será importante pues, acordar la siguiente simbología:

{X = x}denotará el evento formado por todos los resultados para los que X = x

será la probabilidad de dicho evento.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribución bien puede ser una gráfica, una tabla o una ecuación que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se considera como el resumen más útil de un experimento aleatorio.

Toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes:

1) f( X) > 0

2)

Se dice que una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales. Dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no haya huecos o interrupciones.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está caracterizada por una función f(x) que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta función f(x) no es la misma función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. La gráfica de la función f(x) es una curva que se obtiene para un número muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo muy pequeña.

Variable aleatoria continua

Esta función de densidad de probabilidad f(x) permite calcular el área bajo la curva que representa la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor entre el intervalo donde se define la función.

Formalmente, la función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua, se define como tal si para cualquier intervalo de números reales [a,b] se cumple que:

1) f(x) > 0

2)

3)

ESPERANZA (MEDIA O VALOR ESPERADO) DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La esperanza es un parámetro de la distribución. Es una medida de tendencia central.

Si X es una variable aleatoria discreta:

E(X) = xi.p(xi)

Si X es una variable aleatoria continua:

E(X) = x.f(x).dx

La esperanza E(x) no es un resultado que esperararíamos cuando X se observa sólo una vez.

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