Derivada Direccional

lDERIVADA DIRECCIONAL.

Para conocer la derivada direccional es importante mencionar que es la derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto su definición es:

F`(a)=lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a) )/h〗

Para poder realizar la función de la derivada direccional es importante seguir 3 elementos de esta misma ya que se requieren para poder sacar el valor de las coordenadas que se desean obtener de esta. La primera de estos elementos es sacar la derivada parcial de la función de la que se quiere obtener la derivada direccionas y el concepto de esta se refiere a :

Derivada parcial

Sea f(x,y) una función escalar de dos variables reales definida al menos en un entorno del punto (x0 , y0) . Se define la derivada parcial de f(x,y) con respecto a x en el punto (x0, y0) como el siguiente limite .

∂f/∂x (x0,y0)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x0+h,y0)-f(x0,y0))/h〗

Y de la otra manera

∂f/∂y (x0,y0)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x0,y0+h)-f(x0,y0))/h〗

De estas definiciones se deduce fácilmente que el cálculo efectivo de una derivada parcial con respecto a una variable es idéntico al de las derivadas ordinarias, sin más que considerar el resto de las variables involucradas como constantes.

Y al tener claro esta parte de la derivada es más sencillo encontrar el valor unitario agregando a en x , y sus respectivas direcciones (i, j) y sustituimos el valor en el producto de la derivada.

Ahora teniendo en cuenta la definición anterior, se puede considerar la posibilidad de derivar con respecto a una dirección diferente a las de los ejes de coordenados, tenemos entonces el concepto de la derivada direccional:

Definicion:

Sea f: Rn -> R definida al menos en un entorno de x0 y sea v un vector de Rn tal que //v//=1 se define entonces la derivada direccional de f en la dirección 3 de v en el punto x 0 ∈ dom. Como el limite.

Dv f(x0)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x0,y0+h)-f(x0,y0))/h〗

Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:

Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir ,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces

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