Derivada, problema de la tangente
Joseph AltamiranoResumen12 de Junio de 2023
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LA DERIVADA
[pic 1]
[pic 2][pic 3]
[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Forma pendiente-intersección para una recta con pendeinte m e intersección con el eje e igual a b es[pic 16][pic 17]
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
DEFINICIÓN 2: PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
Si la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q y corta a la curva C, es[pic 18][pic 19][pic 20]
La pendiente de la recta tangente es (2):
[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
La ecuación de la normal es:[pic 29][pic 30][pic 31]
𝑦 − 1 = 3(𝑥 − 3)
También podemos usar la definición 1
𝑚 = lim 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)[pic 32]
[pic 33]
3 − 𝑓(3)
3 − 1
𝑥→𝑎
𝑥 − 𝑎
3 − 𝑥
3 − 𝑥
−(𝑥 − 3)
𝑚 = lim 𝑥 [pic 34]
= lim
𝑥 = lim
𝑥
= lim
= lim =
[pic 35]
𝑥→3 𝑥 − 3
𝑥→3
𝑥 − 3 𝑥→3
𝑥 − 3
𝑥→3
𝑥(𝑥 − 3)
𝑥→3 𝑥(𝑥 − 3)
lim
𝑥→3
−(𝑥 − 3)
[pic 36]
𝑥(𝑥 − 3)
= lim
𝑥→3
−1 = − 1
𝑥 3[pic 37][pic 38]
Como vemos, usando las dos definiciones obtenemos lo mismo
[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]
Pendiente de la recta secante
𝑚 = 𝑓 3+ℎ −𝑓(3) = (3+ℎ)2−8 3+ℎ +9−(−6) = 9+6ℎ+ℎ2−24−8ℎ+9+6 = ℎ2−2ℎ[pic 45][pic 46]
[pic 47] [pic 48]
= ℎ − 2 , ℎ ≠ 0
𝑃𝑄 ℎ ℎ ℎ ℎ
Pendiente de la recta tangente[pic 49]
𝑚 = lim[pic 50][pic 51]
ℎ→0
= −2
Ecuación de la recta tangente
𝑦 − −6 = −2 𝑥 − 3[pic 52][pic 53]
𝑦 + 6 = −2(𝑥 − 3)
Ecuación de la recta normal
1
𝑦 + 6 = 2 (𝑥 − 3)[pic 54]
Resuelve los ejercicios siguientes
pág. 148
Usando las definiciones 1 y 2, halla la ecuación de la recta tangente y de la normal. Grafica en Desmos la función,las rectas tangente, la normal y que se vea el punto de tangencia
[pic 55]
Además :
a) 𝒚 = 𝟐 − 𝒙, 𝑷 −𝟐, 𝟐[pic 56][pic 57]
b) 𝒚 = 𝟑 + 𝒙, 𝑷(𝟔, 𝟑)[pic 58]
...