Derivadas Parciales De Orden Superior

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo 1

Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular el valor de

fxy (-1,2)

Solución

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, fxy (-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales.

Ejemplo 2

Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función

Solución

Las parciales primeras son,

Y las parciales cruzadas son,

Ejemplo 3

Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Derivada direccional

Ejemplo 1

Calcular la derivada direccional de en (1,2) en la dirección

de

Solución

Evaluando en , x=1 e y=2, tenemos

Ejemplo 2

Calcular la derivada direccional de en (-1,3) en la dirección que va desde

P(-1,3) a Q(1,-2)

Solución

Un vector en la dirección especificada es

y un vector unitario en esta dirección es

Como , el gradiente (-1,3) es

En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es

Ejemplo 3

Calcular

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