Derivada Parcial

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INDICE:

1. INTRODUCCION

2. DERIVADAS PARCIALES

1. DEFINICION

2. OBSERVACIONES Y APLICACIÓN

3. EJEMPLOS

3. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

1. DEFINICION

2. GRAFICOS Y EJEMPLOS

3. OBSERVACIONES

4. TEOREMA DE LA IGUALDAD DE LAS DERIVADAS MIXTAS

1. DEFINICION

2. EJEMPLOS

5. VECTOR GRADIENTE

1. DEFINICION

2. OBSERVACIONES

3. EJEMPLOS

6. OTRAS APLICACIONES PARA LAS DERIVADAS PARCIALES

1. AREAS, VOLUMENES Y NOTACION

2. EJEMPLOS

7. CONCLUSIONES

8. BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCION

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables [pic] e [pic]podemos medir dos razones de cambio: una según cambia [pic], dejando a [pic] fija y otra según cambia [pic], dejando a [pic] fija.

Suponga que dejamos variar sólo a [pic], dejando a [pic] fija, digamos [pic], en donde [pic] es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable [pic], a saber [pic]. Si [pic] tiene una derivada en [pic]entonces la llamamos la derivada parcial de [pic] con respecto a [pic] en [pic]. De forma análoga podemos hacerlo para [pic] variable y [pic] fija.

DEFINICION

|Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones fx y fy respectivamente, |

|definidas mediante |

|[pic]

|

|siempre y cuando existan los límites. |

Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para obtener fy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.

OBSERVACION: los límites de la definición son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla de Hôspital, etc.

Ejemplo 1

Usando la definición de derivada parcial calcule [pic]para [pic]

Solución

Usando la definición tenemos que:

[pic]

Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial:

[pic]

[pic]

Ejemplo 2

Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada, se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto [pic]es [pic]. Además, suponga que [pic]e [pic]están medidas en metros y la temperatura [pic] en grados centígrados. ¿Cómo varía la temperatura [pic]en el punto [pic]cuando [pic]permanece fijo en [pic]?, ¿Qué significa esto ?

Solución

Del ejemplo 1 tenemos que [pic]con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura [pic]en el punto [pic]es de 8 grados centígrados por metro, cuando [pic]esta fijo en [pic]. El hecho de que sea positiva nos indica que la temperatura [pic]de la placa aumenta a medida que avanzamos sobre la recta [pic]hacia [pic].

Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de la función

[pic]de una variable que obtenemos al fijar alguna de las variables [pic] o [pic], su cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable.

Para calcular [pic], considere a [pic]como una constante y derive a [pic]con respecto a [pic].

Para calcular [pic], considere a [pic]como una constante y derive a [pic]con respecto a [pic].

Ejemplo 3

Calcule la derivada parcial [pic]para [pic]y también calcule [pic]

Solución

Usando la regla para la derivada del cociente

[pic]

con lo cual [pic].

Ejemplo 4

Calcule [pic]y [pic], si [pic]está definido implícitamente como una función de [pic]e [pic], mediante la siguiente ecuación

[pic]

Solución

Usando la regla de la cadena en una variable, obtenemos, derivando respecto a [pic], que:

[pic]

Y al despejar [pic], obtenemos que:

[pic]

De una forma análoga, la derivación implícita con respecto a [pic], obtenemos da

[pic]

Ejemplo 5

Calcule [pic]para la función [pic]

Solución

Para calcular[pic]debemos aplicar repetidamente la regla de la cadena

[pic]

El siguiente ejemplo muestra que algunas veces no queda más que recurrir a la definición para calcular una derivada parcial.

Ejemplo 5

Si [pic], calcule[pic].

Solución

Observe que si calculamos la derivada parcial usando las reglas de derivación usuales obtenemos que

[pic]

y al evaluarla obtenemos una forma indeterminada [pic]; esto nos puede llevar a la conclusión errónea de que la derivada parcial no existe.

Ahora usemos la definición

[pic]

Por lo tanto la derivada parcial con respecto a [pic]existe y es [pic].

INTERPRETACION

GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Recordemos que la gráfica de [pic]representa una superficie [pic]. Si [pic], entonces el punto [pic]está sobre la superficie [pic]. El plano vertical [pic]interseca a la superficie [pic]en la curva [pic](es decir, [pic]es la traza de la superficie [pic]sobre el plano [pic]. De manera semejante, el plano vertical [pic]interseca a la superficie [pic]en la curva [pic]. Ambas curvas pasan por el punto [pic].

Observe que la curva [pic]es la gráfica de la función [pic]de manera que la pendiente de su recta tangente[pic] en el punto [pic]es [pic]La curva [pic]es la gráfica de la función [pic]así que la pendiente de su tangente [pic]en el punto [pic]es [pic]

En las figuras siguientes, puede arrastrar el punto P sobre la curva C

[pic] [pic]

Figura 1: derivada parcial en P respecto a x Figura 1: derivada parcial en P respecto a y

Por consiguiente, las derivadas parciales [pic]y [pic]pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas [pic]y [pic]en el punto [pic], respectivamente.

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si [pic], entonces [pic]representa la razón de cambio de [pic]con respecto a [pic], cuando [pic]permanece fija. De manera semejante, [pic]representa la razón de cambio de [pic]con respecto a [pic], cuando [pic]permanece fija.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide [pic]y el plano [pic], cuando [pic].

Solución

En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

[pic]

con

lo cual, la recta es : [pic], pero pasa por el punto [pic]y así

[pic]

En la figura 1 se muestra la recta tangente [pic]y la parábola [pic]

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:

[pic]

La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.

[pic] [pic]

Figura 3: Tangente en P Figura 4: Tangente en P

Ejemplo 8

El plano [pic]interseca al elipsoide [pic]formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse en el punto [pic].

Solución

La ecuación [pic]define a [pic]implícitamente como una función de [pic]e [pic], entonces :

[pic]

Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por

[pic]

Pero como la recta tangente pasa por el punto [pic], entonces

[pic]

De donde su ecuación es : [pic] ; [pic]y sus ecuaciones paramétricas son

[pic]

[pic]

Figura 3: Tangente en P

Observación : si [pic]es una función de dos variables [pic]e [pic], entonces sus derivadas parciales [pic]y [pic]también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales [pic]y [pic], las cuales se llaman segundas derivadas parciales de [pic]Si [pic], utilizamos la siguiente notación :

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

La notación [pic]o [pic]significa que primero derivamos con respecto a [pic]y luego con respecto a [pic], mientras que para calcular [pic]el orden se invierte.

Ejemplo 9

Calcule las segundas derivadas parciales de [pic]

Solución

Las primeras derivadas parciales están dadas por:

[pic]

[pic]

...