Derivadas Paraciales De Orden Superior

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA

FACULTAD DE INGENIERÍA

COLEGIO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

MATERIA

“Cálculo De Varias Variables”

Alumno:

Orozco Toledo Carlos Francisco

Matricula:

201236201

Tema:

Derivadas parciales de orden superior

FECHA: Marzo de 2013

Derivadas de Orden Superior

Si f es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales f_x y f_y son también funciones de dos variables, de modo que se consideran sus derivadas parciales (f_x)x, (f_x)y, (f_y)x y (f_y)y, que se llaman segundas derivadas parciales de f. Si z = f(x,y), use la notación siguiente:

(f_(x ) )x=f_xx= f_11=∂/∂x (∂f/∂x)=(∂^2 f)/〖∂x〗^2 =(∂^2 z)/(∂x^2 )

(f_(x ) )y=f_xy= f_12=∂/∂y (∂f/∂x)=(∂^2 f)/(∂y ∂x)=(∂^2 z)/(∂x ∂y)

(f_(y ) )x=f_yx= f_21=∂/∂x (∂f/∂y)=(∂^2 f)/(∂x ∂y)=(∂^2 z)/(∂x ∂y)

(f_y )y=f_yy= f_22=∂/∂y (∂f/∂y)=(∂^2 f)/〖∂y〗^2 =(∂^2 z)/(∂y^2 )

Por lo tanto, la notación f_xy , (o bien (∂^2 f)⁄(∂y ∂x)) quiere decir que primero se deriva con respecto a x después con respecto a y, y que al calcular f_xy el orden es el inverso.

EJEMPLO Determine las segundas derivadas de:

f(x,y)=x^3+x^2 y^3-2y^2

SOLUCIÓN:

f_x (x,y)=3x^2+2xy^3 f_y (x,y)=3x^2 y^2-4y

Por lo tanto,

f_xx=∂/∂x (3x^2+3xy^3 )=6x+2y^3 f_xy=∂/∂y (3x^2+2xy^3 )=6xy^2

f_yx=∂/∂x (3x^2 y^2-4y)=6xy^2 f_yy=∂/∂y (3x^2 y^2-4y)=6x^2 y-4

Observe que f_xy= f_yx en el ejemplo. Esto no es coincidencia. Resulta que las derivadas parciales combinadas de f_xy y f_yx son iguales para la mayor parte de las funciones que uno encuentra en la práctica. El teorema siguiente, el cual fue descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713-1765), presenta las condiciones en las cuales es posible afirmar que f_xy= f_yx.

TEOREMA DE CLAIRAUT suponga que f está definida en un disco D que contiene el punto (a,b). Si las funciones f_xy y f_yx son continuas en D, ambas entonces f_xy (a,b)= f_yx (a,b)

PRUEBA Para valores pequeños de h, h ≠ 0, considere la diferencia

∆(h)=[ f(a+h,b+h)-f(a+h ,b)]-[ f(a,b+h)-f(a,b)]

Note que si se hace g(x)=f (x,b+h)-f(x,b), entonces

∆(h)=g(a+h)-g(a)

Por el teorema de valor medio, hay un número c entre a y a + h tal que

g(a+h)-g(a)=g^' (c)h=h[f_x (c,b+h)-f_x (c,b)]

Aplicando de nuevo el teorema de valor medio, esta vez a f_x, obtiene un número d entre b y b + h tal que

f_x (c,b+h)-f_x (c,b)=f_x (c,d)h

Con la combinación de estas ecuaciones obtiene

∆(h)=h^2 f_x (c,d)

Si h→0, entonces (c,d)→(a,b), de un modo que la continuidad de f_x en (a,b) da

〖lim〗_(h→0) (∆(h))/h^2 =〖lim〗_((c,d)→(a,b) ) f_xy (c,d)=f_xy (a,b)

Del mismo modo, escribiendo

∆(h)=[ f(a+h,b+h)-f(a,b)+h)]-[f(a+h,b)-(a,b)

Y usando el teorema de valor medio dos veces y la continuidad de f_xy en (a,b), obtiene

〖lim〗_(h→0) (∆(h))/h^2 =f_yx (a,b)

Se deduce que f_xy (a,b)=f_yx (a,b).

⑧TEOREMA si las derivadas parciales de f_x y f_y existen cerca de (a,b) y son continuas en (a,b), entonces f es derivable en (a,b)

PRUEBA sea

∆z=f(a+∆x,b+∆y)-f(a,b)

Para demostrar que f es derivable en (a,b) tiene que demostrar que puede escribir ∆z en la forma

∆z=f_y (a,b)∆x+f_y (a,b)∆y+ε_1 ∆x+ε_2 ∆y

Donde ε_(1 ) y ε_2→0 cuando (∆x,∆y)→(0,0).

De la figura 1, puede escribir

∆z=[ f(a+∆x,b+∆y)-f(a,b+∆y)]+[f(a,b+∆y)-f(a,b)]

Observe que la función de una sola variable

g(x)=f(x,b+∆y)

Está definida en el intervalo [a,a+∆x] y g^' (x)=f_x (x,b+∆y). Si aplica el teorema de valor medio a g, obtiene

g(a+∆x)-g(a)=g'(u)∆x

Donde u es algún numero entre a y a+∆x. En términos de f, esta ecuación se convierte en

f(a+∆x,b+∆y)-f(a,b+∆y)=f_x (u,b+∆y)∆x

Esto da una expresión para la primera parte del lado derecho de la ecuación 1. Para la segunda parte h(y)=f(a,y). Entonces h es una función de una sola variable definida en el intervalo [b,b+∆y] y h^' (y)=f_y (a,y). Una segunda aplicación del teorema de valor medio da, entonces

h(b+∆y)-h(b)=h'(v)∆y

Donde v es algún numero entre b y b+∆y. En términos de f, esto se convierte en

f(a,b+∆y)-f(a,b)=f_y (a,v) ∆y

Ahora sustituya estas expresiones en la ecuación 1 y obtiene

∆z=f_x (u,b+∆y)∆x+f_y (a,v) ∆y

∆z=f_x (a,b)∆x+[f_x (u,b+∆y)-f_x (a,b)]∆x+f_y (a,b) ∆y+[f_y (a,v)-f_y (a,b)]∆y

∆z=f_x (a,b)∆x+f_y (a,b) ∆y+ε_1 ∆x+ε_2 ∆y

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