Derivadas Parciales

Capitulo I

Introducción a las funciones de dos o mas variables

Muchas magnitudes que nos son familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el área A de un rectángulo (A=xy) y el volumen V de un cilindro circular recto son ambas funciones de dos variables. Denotaremos una función de dos variables por una notación similar a la de las funciones de una sola variable. Así,

Definición 1.1

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par (x, y) de D le corresponde un número real , entonces se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de es el recorrido orango de f.

Para la función dada por , llamamos variables independientes a x e y, siendo z la variable dependiente. Al igual que con las funciones de una variable, generalmente se usamos ecuaciones para describir funciones de varias variables, y a menos que se restrinja en otro sentido, suponemos que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación está bien definida. Por ejemplo, el dominio de la función se supone que es todo el plano xy. Generalmente el dominio es un conjunto que representa regiones restrinjidas del plano xy.

Ejemplo 1.1

Encontrar el dominio de las siguientes funciones.

Solución

a) La función f está definida en todos los pares ordenados (x,y) tales que x sea distinto de cero y . Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están fuera del círculo o en la circunferencia, excepto los del eje y, como se muestra en la figura 1.1.

figura 1.1

b) La función f está definida en todos los puntos (x,y) tales que . Es decir, el conjunto dominio está formado por todos los puntos al interior de la elipse , incluyendo la frontera como muestra la figura 1.2.

figura 1.2

Las funciones de dos variables pueden combinarse del mismo modo que las de una variable. Es decir,

Suma o Diferencia

Producto

Cociente

La función compuesta dada por se define solamente si g es una función de x e y, además f es una fucnión de una única variable. Entonces,

Composición

para todo (x,y) en el dominio de g tal que g(x,y) está en el dominio de f. Por ejemplo, la función dada por

puede verse como la composición de la función de dos variables dada por y la función de una variable dada por .

Superficies

De la misma forma que las funciones de una variable, puede resultar muy importante, en lo concerniente al "comportamiento" de una función de dos variables, el dibujo de su gráfica. La gráfica de una función de dos variables f es el conjunto de puntos (x,y,z) para los que y (x,y) está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio. En la figura 1.3 nótese que la gráfica de es una superficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en el dominio D.

figura 1.3

Ejemplo 1.2

Dibujar la gráfica de la función . ¿Cuál es el recorrido?

Solución

El dominio D implicado por la ecuación que define a f es el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que . Por lo tanto, D es el conjunto de todos los puntos que están en interior o en el borde de la elipse dada por

El recorrido de f consta de todos los valores tales que . Un punto (x,y,z) está en la gráfica de f si y sólo si

Como vemos en la figura 1.4, la gráfica de f es la mitad superior de una elipsoide.

figura 1.4

En casi todos los software de representación gráfica tridimensional se utilizan las trazas. La figura 1.5 muestra la gráfica del ejemplo 1.2.

figura 1.5

Traza en el plano z=2

Curvas de nivel

Otra forma de visualizar una función de dos variables es como un campo escalar, que asigna al punto (x,y) el escalar . Un campo escalar se puede caracterizar por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de las cuales el valor de es constante. Por ejemplo, el mapa meteorológico de la figura 1.6 muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobaras. En los mapas meteorológicos cuyas curvas de nivel representan puntos de igual temperatura se llaman isotermas. Otro uso

figura 1.6

Otro uso frecuente de las curvas de nivel aparece en la representación de campos de potencial eléctricos, donde las curvas de nivel reciben el nombre de curvas equipotenciales.

Los mapas de contorno se utilizan a menudo para representar regiones de la superficie terrestre, en cuyo caso las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapas se llaman topográficos. Por ejemplo, las alturas de las montañas quedan reflejadas en un mapa topográfico (ver figura 1.7).

figura 1.7

Un mapa de contorno describe la variación de z con respecto a x e y por el espaciado entre sus curvas de nivel. Mucho espacio entre curvas de nivel significa que z está cambiando lentamente, mientras que curvas de nivel muy próximas entre si denotan una variación muy rápida de z. Por otra parte, con el fin de dar buena sensación tridimensional en un mapa de contorno es importante escoger valores de c que estén igualmente espaciados.

Ejemplo 1.3

La figura 1.8 muestra el hemisferio dado por . Dibujar un mapa de contorno para esta superficie usando curvas de nivel correspondientes a c=0, 1, 2, ... ,8

figura 1.8

Solución

Para cada valor de c, la ecuación =c es un círculo (o un punto) en el plano xy. Así cuando c=0 la curva de nivel es

círculo de radio 8

La figura 1.9 muestra las nueve curvas de nivel pedidas para el hemisferio.

figura 1.9

Ejemplo 1.4

En la figura 1.10 se muestra el hiperboloide parabólico dado por

Dibujar una mapa de contorno para esta superficie.

figura 1.10

solución

Para cada valor de c, hacemos =c y dibujamos la curva de nivel resultante en el plano xy. Para esta función, cada una de las curvas de nivel (c distinto de cero) es una hipérbola cuyas asíntotas son las rectas y=± x. Si c<0, el eje transversal es horizontal. Así la curva de nivel para c=-4 viene dada por

Hipérbola con eje transversal horizontal

Si c>0, el eje transversal es vertical. Así, la curva de nivel para c=4 viene dada por

Hipérbola con eje transversal vertical

Si c=0, la curva de nivel es la cónica degenerada que representa las asíntotas que se cortan, como se ve en la figura 1.11.

figura 1.11

El mapa topográfico es una representación de la superficie terrestre mediante curvas de nivel para mostrar el relieve topográfico de una región. Cada línea representa la intersección entre la tierra y una altitud determinada por encima o por debajo del nivel del mar. Suelen incluirse también otros rasgos morfológicos como la vegetación, los suelos y todos los rasgos creados en el paisaje por los esfuerzos humanos.

Ejercicios

Ejercicio 1.1

Describir la región D que corresponde, en el plano xy, al dominio de la función dada. Hallar el recorrido de la función.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ejercicio 1.2

Usar el WinPlot para graficar las curvas de nivel de las siguientes superficies:

1.

2.

3.

4.

Ejercicio 1.3

Usar el WinPlot para dibujar la gráfica de las siguientes superficies cuyas ecuaciones son:

1.

2.

3.

4.

Ejercicio 1.4

Usar el WinPlot para describir las curvas de nivel para cada función con los valores de c que se indican. Utilice F2 y el menú Equa-0=f(x,y).

1. , c=0,1,2,3,4 y 5

2. , c= 1/2, 1, 3/2 y 2

3. , c=0, /6, /3 y 5 /6

4. , c=0, 1, 2 y 3

Evaluación

1. La temperatura T, en grados Celsius, en cualquier punto (x,y) de una lámina metálica circular de 10 metros de radio es donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas.

2. Una caja rectangular sin tapa superior mide x centímetros de largo, y centímetros de ancho y z centímetros de alto. Expresar el costo C de construcción de esta caja en función de x, y, z, si el material de la base cuesta $750 por centímetro cuadrado y el de los laterales $400 por centímetro cuadrado.

3. Un depósito de propano se ha construido adosando dos semiesferas a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar su volumen V como función del radio R y de la longitud L del cilindro.

4. ¿Qué significa isobaras?

5. ¿Qué significa isotermas?

6. ¿Qué es un mapa topográfico?

Capitulo 2

Límites y Continuidad

Karl Weierstrass

En este capítulo discutiremos las nociones de límite y continuidad para funciones de dos variables. Pero antes necesitamos definir algunos términos preliminares. Mucha de esta terminología fue introducida por el matemático alemán KarlWeierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de "padre del análisis moderno".

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