Derivadas Parciales
hipocampos25 de Noviembre de 2012
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Cap¶³tulo 8
Derivadas parciales y
diferencial
8.1. Derivadas parciales de primer orden.
Sean f : D ½ R2 ! R y (x0; y0) 2 D. Si existe y es ¯nito
l¶³m
x!x0
f(x; y0) ¡ f(x0; y0)
x ¡ x0
; (8.1)
su valor se denota por
@f
@x
(x0; y0)
o
f0
x(x0; y0)
y recibe el nombre de derivada parcial de f con respecto a x en el punto
(x0; y0). De forma similar se de¯ne la derivada parcial con respecto a y:
@f
@y
(x0; y0) = l¶³m
y!y0
f(x0; y) ¡ f(x0; y0)
y ¡ y0
;
que se denota tambi¶en por f0y
(x0; y0).
236
Ejemplo 8.1.1. Sea f(x; y) = xy2
x2+y2 , si (x; y) 6= (0; 0), y f(0; 0) = 0. Las
derivadas parciales en el origen se obtienen de la siguiente forma:
@f
@x
(0; 0) = l¶³m
x!0
f(x; 0) ¡ f(0; 0)
x ¡ 0
=
= l¶³m
x!0
0
x2 ¡ 0
x
= l¶³m
x!0
0
x
= l¶³m
x!0
0 = 0
@f
@y
(0; 0) = l¶³m
y!0
f(0; y) ¡ f(0; 0)
y ¡ 0
=
= l¶³m
y!0
0
y2 ¡ 0
y
= l¶³m
y!0
0
y
= l¶³m
x!0
0 = 0:
De (8.1) se sigue que, para x cercano a x0, el cociente incremental
f(x; y0) ¡ f(x0; y0)
x ¡ x0
estar¶a muy pr¶oximo a su l¶³mite. Por tanto, la derivada parcial @f
@x (x0; y0)
representa la velocidad con que var¶³a f en el punto (x0; y0) y a lo largo de
la recta y = y0, ya que haciendo el producto ¢x@f
@x (x0; y0) se obtiene una
aproximaci¶on del incremento
f(x0 + ¢x; y0) ¡ f(x0; y0);
y la aproximaci¶on es tanto mejor en cuanto que el incremento ¢x es m¶as
peque~no.
An¶alogamente, la derivada parcial @f
@y (x0; y0) representa la velocidad con
que var¶³a la funci¶on en el punto (x0; y0) a lo largo de la recta x = x0.
Debe notarse que la derivada parcial @f
@x (x0; y0) no es otra cosa que la
derivada con respecto a x, en el punto x0, de la funci¶on de x que resulta
cuando hacemos y = y0 en f(x; y). Es decir, es la derivada de f(x; y0) con
respecto a x.
237
Las funciones m¶as simples, como las que son el resultado de realizar las
operaciones habituales entre funciones derivables elementales, poseen las dos
derivadas parciales en cada punto (x; y), En estos casos, @f
@x y @f
@y se obtienen
derivando f respecto de x e y, respectivamente, y suponiendo constante la
otra variable.
Ejemplos 8.1.2. a) f(x; y) = x sen(xy).
@f
@x
(x; y) = sen(xy) + xy cos(xy)
@f
@y
(x; y) = x2 cos(xy):
b) f(x; y) = xy
1+y2 .
@f
@x
(x; y) =
y
1 + y2
@f
@y
= x
¡1 + y2 ¡ y2y
(1 + y2)2
¢
=
x(1 ¡ y2)
(1 + y2)2 :
8.2. Derivadas de orden superior.
Sea f una funci¶on que posee derivadas parciales de primer orden en cada
punto de cierto conjunto D ½ R2. Las funciones
(x; y) 2 D ! f0
x(x; y) 2 R
y
(x; y) 2 D ! f0
y(x; y) 2 R
se denotan por f0x
y f0y
, respectivamente, y reciben el nombre de funciones
derivadas parciales de primer orden de f. Sus derivadas parciales de primer
orden se denominan derivadas parciales de segundo orden de f. As¶³, por
ejemplo, el siguiente l¶³mite
238
l¶³m
x!x0
f0x
(x; y0) ¡ f0x
(x0; y0)
x ¡ x0
es la derivada parcial de primer orden con respecto a x de la funci¶on f0x
en
el punto (x0; y0):
Se denota por f00
xx(x0; y0) (derivada parcial de segundo orden de f
con respecto a x dos veces).
Las derivadas parciales cruzadas, f00
xy(x0; y0) y f00
yx(x0; y0), en general son
diferentes. Sus de¯niciones precisas son
f00
yx(x0; y0) = l¶³m
x!x0
f0y
(x; y0) ¡ f0y
(x0; y0)
x ¡ x0
f00
xy(x0; y0) = l¶³m
y!y0
f0x
(x0; y) ¡ f0x
(x0; y0)
y ¡ y0
:
N¶otese que f00
yx(x0; y0) es la derivada parcial de f0y
con respecto a x en
el punto (x0; y0). Esta notaci¶on para las derivadas de orden superior es m¶as
c¶omoda que la notaci¶on cl¶asica siguiente
@2f
@x@y
(x0; y0) =
@
@x
¡@f
@y
¢
(x0; y0);
Vamos a ver un ejemplo de una funci¶on f para la que f0
xy(0; 0) = ¡1 y
f0y
x(0; 0) = 1.
Ejemplo 8.2.1. Calcular las derivadas cruzadas en el origen de la funci¶on
f(x; y) = xy
¡x2 ¡ y2
x2 + y2
¢
; si (x; y) 6= (0; 0)
y f(0; 0) = 0:
Derivando respecto de x, considerando y constante, obtenemos
f0
x(x; y) =
(3x2y ¡ y3)(x2 + y2) ¡ (x3y ¡ xy3)2x
(x2 + y2)2 =
239
=
y(x4 + 4x2y2 ¡ y4)
(x2 + y2)2 ;
para (x; y) 6= (0; 0).
Derivando ahora respecto de y, considerando x constante, resulta
f0
y(x; y) =
(x3 ¡ 3xy2)(x2 + y2) ¡ (x3y ¡ xy3)2y
(x2 + y2)2 =
=
x(x4 ¡ 4x2y2 ¡ y4)
(x2 + y2)2 ;
para (x; y) 6= (0; 0).
Para calcular las derivadas parciales en el origen debemos acudir a la
de¯nici¶on:
f0
x(0; 0) = l¶³m
x!0
f(x; 0) ¡ f(0; 0)
x ¡ 0
= l¶³m
x!0
0
x2 ¡ 0
x ¡ 0
=
= l¶³m
x!0
0
x
= l¶³m
x!0
0 = 0
f0
y(0; 0) = l¶³m
x!0
f(0; y) ¡ f(0; 0)
y ¡ 0
= l¶³m
y!0
0
y2 ¡ 0
y ¡ 0
=
= l¶³m
y!0
0
y
= l¶³m
y!0
0 = 0:
Ahora estamos en condiciones de proceder a calcular las derivadas par-
ciales de segundo orden en el origen:
f00
yx(0; 0) = l¶³m
x!0
f0y
(x; 0) ¡ f0y
(0; 0)
x ¡ 0
=
= l¶³m
x!0
x ¡ 0
x ¡ 0
= 1
f00
xy(0; 0) = l¶³m
y!0
f0x
(0; y) ¡ f0x
(0; 0)
y ¡ 0
=
= l¶³m
y!0
¡y ¡ 0
y ¡ 0
= ¡1:
240
De¯nici¶on 8.2.2. Sean D un subconjunto abierto de R2 y k un n¶umero
natural mayor o igual que 1. Diremos que una funci¶on f es de clase k en D
si f posee todas las derivadas parciales hasta las de orden k y son continuas
en D (se denota f 2 Ck(D)).
Se demuestra que, si f es una funci¶on de clase k ¸ 2 en un
abierto D y de cualquier n¶umero de variables, la derivada parcial
de orden k, fk
x1x2::xk no cambia su valor si sustituimos x1; x2; :::; xk por
una permutaci¶on cualquiera. Por ejemplo, si f 2 C3(D), entonces
las derivadas de tercer orden f000
xxy, f000
xyx y f000
yxx son iguales en cada
punto de D.
8.3. La derivada direccional.
Ninguna de las derivadas parciales
@f
@x
(x0; y0);
@f
@y
(x0; y0)
nos sirve cuando necesitamos un valor aproximado del incremento f(x; y) ¡
f(x0; y0); si x 6= x0 e y 6= y0, simult¶aneamente. Necesitamos un tipo de
derivada m¶as adecuado para esta situaci¶on y que recibe el nombre de derivada
direccional.
Dado un vector cualquiera v = (v1; v2) y un punto (x0; y0), la ecuaci¶on
de la recta que pasa por (x0; y0) y es paralela a v tiene por ecuaciones para-
m¶etricas (
x = x0 + tv1
y = y0 + tv2
241
Y
X
O
xo
y
o
r
v
x = x + t v
y = y + t v
o
o
1
2
Si v = (v1; v2) es unitario (v2
1 + v2
2 = 1), se de¯ne la derivada de f en
el punto (x0; y0) y en la direcci¶on del vector v como el valor del l¶³mite
siguiente
l¶³m
t!0
f(x0 + tv1; y0 + tv2) ¡ f(x0; y0)
t
y se denota por
Dvf(x0; y0):
Ahora podemos dar respuesta a la cuesti¶on anterior; si queremos un valor
aproximado del incremento
f(x; y) ¡ f(x0; y0);
siendo x 6= x0 e y 6= y0, podemos usar la derivada direccional Dvf(x0; y0) con
v un vector unitario paralelo a
(x ¡ x0; y ¡ y0):
Entonces existe t 2 R tal que
(x ¡ x0; y ¡ y0) = tv;
242
es decir,
(x; y) = (x0; y0) + tv:
Si (x; y) es cercano a (x0; y0), t ser¶a pr¶oximo a 0 y podemos aproximar
f(x; y) ¡ f(x0; y0) por tDvf(x0; y0):
Por tanto, el signi¯cado de Dvf(x0; y0) es claro: se trata de la velocidad
con que var¶³a la funci¶on f en (x0; y0) a lo largo de la recta r que pasa por
(x0; y0) y lleva la direcci¶on de v. N¶otese que las derivadas parciales @f
@x y @f
@y son
casos particulares de derivada direccional. Concretamente, son las derivadas
de f en las direcciones de e1 y e2, respectivamente.
En un apartado posterior, veremos una forma muy simple de calcular las
...