Derivadas parciales de orden superior.

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Derivadas parciales de orden superior

[pic 4]Si , entonces no sólo  es una función de  y , también lo son y . Por lo que es posible diferenciar y , para obtener derivadas parciales de segundo orden de . En forma simbológica,[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

 significa                  significa[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

 significa                  significa[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

En términos de notación [pic 22]

Observe que para encontrar , primero se diferencia  con respecto a . Para , primero se diferencia con respecto a .[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Es posible extender la notación más allá de las derivadas parciales de segundo orden.

Por ejemplo,  es una derivada parcial de tercer orden de , esto es, la derivada parcial de  con respecto de . [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Continuidad y discontinuidad

Muchas funciones tienen la prpiedad de que no presentan “pausas” algunas de sus gráficas. Por ejemplo comparte las funciones:

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La gráfica de  no tienen pausas, pero la gráfica de  tiene una pausa en . Dicho de otra forma, si usted fuera a trazar ambas gráficas con un lápiz, tendría que desegar el lápiz del papel en la grafica  cuando , pero no tendría que despegar en la gráfica de . Compare el límite de cada función con el valor de la función  conforme  se aproxima a 1:[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

[pic 41]

DEFINICIÓN

Una función de  es continua en  si y sólo si se complen las siguientes tres condiciones:[pic 42][pic 43]

1.  existe[pic 44]
2.  existe[pic 45]
3. [pic 46]

Si  no es continua en , entonces se dice que  es discontinua en , y  se llama punto de discontinuidad de .[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

Se dice que una funci´pn es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese intervalo.

Una función polinomial es continua en todo punto.

Se concluye que tal función es continua en cualquier intervalo. Se dice que las funciones polinomiales son continuas sobre su dominio si son continuas en cada punto de su dominio. Si el dominio de tal función es el conjunto de todos los números reales, se puede decir simplemente que la función es continua.

Aquín unos ejemplos de como se ve graficada[pic 53]

[pic 54]Discontinuidades

Sea . Observese que  no está denifida en , pero está definida para cualquier valor de  cercana a 0. Así,  es discontinua en 0. Además  y . Se dice que la función tiene discontinuidad infinita en , cuando al menos uno de los límites laterales es  o , a medida que . De aquí que se tenga una discontinuidad infinita en .[pic 67][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

Discontinuidades de una función racional

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