Derivadas De Orden Superior

4.7.1 Derivadas de orden superior

Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

Ejemplos: En los ejercicios 1 a 5, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.

Regla de L’ Hopital.

La Regla de L’Hopital establece que bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funciones f(x)/g(x) coincide con el límite del cociente de sus derivadas.

Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c, excepto posiblemente en el propio c. Supongamos que g’ (x) ≠ 0 para todo x en (a, b), excepto en el propio c. Si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces:

Este resultado es válido también si el límite de f(x)/g(x) produce cualquiera de las formas indeterminadas ∞/∞, (-∞)/∞, ∞/(-∞), o (-∞)/(-∞).

RESUMEN:

Aunque el resultado que vamos a mencionar se llama la "regla de L'Hôpital", ésta se debe al famoso matemático suizo Jean Bernoulli (1667 - 1748). Bernoulli (discípulo de Leibniz) había instruido en el Cálculo al marqués francés, G. F. A. de L'Hôpital (1661 - 1704). Bernoulli y L'Hôpital hicieron un pacto: el primero recibía un salario regular a cambio de enviarle a L'Hôpital sus descubrimientos matemáticos para que este último los utilizase como quisiera.

L'Hôpital incluyó la "regla" en lo que constituye el primer texto de Cálculo diferencial impreso: Analyse des infiniment petits, publicado en París en 1696. Este texto que influyó mucho en la mayor parte del siglo XVIII, contenía muchos resultados que hoy sabemos se debían a Jean Bernoulli.

siempre que exista o sea infinito.

Veamos unos ejemplos que ilustran cómo se aplica esta regla.

Ejemplo 1. Un límite aplicando la regla de L'Hôpital

Calcular

Solución: Observe que la regla dice que tenemos un límite:

es decir, se toma el numerador como una función f(x) y el denominador como otra función g(x).

En este caso

f(x) = cos 3x + 4x - 1 y g(x) = 3x.

Además

f(0) = cos 3 • 0 + 4 • 0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 y también g(0) = 3 • 0 = 0.

Todo esto significa que se puede aplicar la regla de L'Hôpital porque el límite es de la forma .

Ahora bien, la regla dice que tenemos

Es decir, se derivan el numerador y el denominador separadamente (no se deriva como un cociente). En el caso que nos ocupa tendríamos entonces:

Ejemplo 2. Aplicando dos veces la regla de L'Hôpital

Calcular

Solución: Tomamos

f(x) = ex + e-x – 2 y g(x) = 1 - cos2x,

entonces

f(0) = e0 + e-0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 y g(0) = 1 - cos2 • 0 = 1 - 1 = 0

y se puede aplicar la regla de L'Hôpital:

observando el límite de la derecha nos damos cuenta que también es de la forma . Volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital (derivando el numerador y derivando el denominador):

...