Desarrollo De La fórmula Que Rige A La Ingeniería Económica

Desarrollo de la fórmula que rige a la ingeniería económica

Para resolver no sólo el asunto anterior, sino casi cualquier tipo de problema plan- teado por la ingeniería económica, se requiere de una fórmula que considere el cambio del valor del dinero a través del tiempo. Esta fórmula se va a desarrollar con un ejemplo.

EJEMPLO 2.2 Una persona deposita $100 en un banco que paga un interés de 10% anual. No hace ningún retiro de dinero. ¿Cuánto tendrá acumulado en el banco des- pués de tres años?

SOLUCiÓN

Llámese P a la cantidad depositada en el presente ($100).

Llámese i al interés cobrado por periodo (10% anual).

Llámese F a la cantidad acumulada en el futuro.

Llámese n al periodo de tiempo necesario para ganar (o cobrar) un interés, un año en el caso del ejemplo.

Cantidad acumulada al final del periodo 1:

F, = 100 +100(0.1) = 110

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DESARROLLO DE LA FÓRMULA QUE RIGE A LA INGENIERÍA ECONÓMICA

Debido a que no se retira dinero, el periodo 2 empieza con una cantidad acumulada de $110, sobre la cual se ganará el nuevo interés:

F2 = 110 + 110(0.1) = 121

De la misma forma, el tercer año se inicia con $121 y sobre esa cantidad se van

a generar intereses:

F3 = 121 + 121(0.1) = 133.1 Entonces, la respuesta al problema es $133.1.

Para desarrollar la fórmula se resuelve el mismo problema pero sólo con literales: Fl = P +Pi = P(1 + 01

La cantidad acumulada al final del periodo 1 es (P + Pi) Y sobre esa cantidad se gana un interés:

El estudiante podrá comprobar este resultado si hace la operación: (l +i)(l +i) = 1+2i+i2

De manera similar para el tercer periodo se tiene:

F3= P +Pi +Pi +Pi2 + i(P +Pi +Pi +Pi2) =P+A+A+W+A+W+W+W =P(1+3i+3i2+i3) =P(l+il

El estudiante podrá comprobar el resultado multiplicando: (1+i)(l +i)(1 +i) =1+3i+3i2 +i3

De los resultados obtenidos se observa que el periodo coincide con el exponen- te, es decir, para el periodo 1 se obtuvo F =P(1 + i)l, para el periodo 2 se obtuvo F = P(1 + 02 Ypara el periodo 3 F =P(1 + il. En primer lugar es necesario comprobar si con la aplicación de la fórmula se obtienen los mismos resultados numéricos que ya se tenían:

Fl= 100(1+0.1)1= 110 F2 =100(1+0.1)2=121 F3=100(1+O.ll =133.1

Como los resultados son idénticos, esto permite hacer una generalización de la fórmula como:

F =P(1 +i)" 2.1

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CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO ATRAVÉS DELTIEMPO

o SU lllversa

donde:

p=~ (1+ir

F = Cantidad acumulada en el periodo n. P = Cantidad depositada en el presente.

i = Interés cobrado o ganado por periodo.

n = Periodo que debe transcurrir para ganar o cobrar un interés o periodo de capita-

lización del interés.

La fórmula 2.1 se denomina con cualquiera de los siguientes tres nombres:

1. Fórmula de interés capitalizado. Significa que el interés se convierte en capital, por lo tanto, para el siguiente periodo va a ganar un interés. Esto se puede obser- var en los resultados. Al final del primer periodo se acumulan $110, donde $10 es el interés ganado en el primer periodo. Para el segundo periodo se acumulan $121, donde $1 es el interés ganado sobre el interés del periodo previo, es decir $10(0.1) = $1. En el tercer periodo, desde luego, pasa lo mismo, pero aquí ya no es tan evidente a partir del resultado obtenido.

2. Fórmula de equivalencia del valor del dinero a través del tiempo. Se puede decir que $100 en el presente son equivalentes a $133.1 dentro de tres años, siempre y cuando el interés anual sea de 10%:

F = 100(1 + 0.1)1 = l33.1

La equivalencia del dinero se ejemplifica de la siguiente manera: el día de hoy usted compra por $100 un conjunto de bienes y anota la cantidad comprada, por ejemplo, n litros de leche y n kg de carne; si dentro de tres años quisiera vol- ver a comprar exactamente la misma cantidad de litros de leche y kilos de carne y si la tasa de interés del mercado (o la inflación) fuera de 10% en cada uno de los próximos tres años, necesitaría tener $l33.1. Es decir, la equivalencia es el mismo poder adquisitivo en diferentes periodos de tiempo. De la misma forma se puede decir que dentro de tres años $l33.1 serán equivalentes a $100 de la actualidad, siempre y cuando la tasa de interés sea de 10% en cada uno de los próximos tres años.

Por lo tanto, para comparar flujos de dinero que aparecen en diferentes periodos de tiempo es preciso declarar también, como un requisito indispensable que:

Para comparar correctamente flujos de efectivo (dinero) que se encuentran en diferentes periodos hay que hacer la comparación en el mismo periodo y al valor equivalente de esos flujos de efectivo, esto es, el dinero se puede pasar a su valor equivalente hacia el

GRÁFICA 2.1

Para resolver el ejemplo planteado inicialmente es preciso contar con una herramienta de diagramación que ayude a visualizar cómo fluye el dinero a través del tiempo. En esta herramienta, llamada diagrama de flujo de efectivo, el tiempo o periodo de análisis del problema se representa como una línea horizontal; el inicio se considera en el extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea. El dinero se re- presenta con flechas hacia arriba y hacia abajo. Una flecha hacia arriba siempre va a representar ganancia, ahorro, beneficio, ingreso, etc., en tanto que una flecha hacia abajo siempre va a representar inversión, gasto, desembolso, pérdida, costo, etc. Es importante mencionar que en cualquier transacción económica siempre hay dos partes, un comprador y un vendedor, un prestador y un prestatario, etc., y que los diagramas de flujo de efectivo de ambos participantes son como imágenes de espejo.

En la gráfica 2.1 se observa el diagrama de flujo del vendedor. La flecha hacia abajo en el periodo cero indica que ha hecho una venta y que sus inventarios presentan una baja de $12000. A cambio de eso, el recibirá seis pagos mensuales por el mismo monto. La notación de la letra A representa los pagos mensuales y obedece a una razón histórica, ya que los estadounidenses designaron esa letra para denotar un pago anual (del inglés annuity), pero pasado el tiempo no importa si el pago es mensual, semanal, etc., se le sigue asignando la letra A. Por lo tanto, a partir de este momento la letra A va a denotar un pago uniforme o igual a lo largo de n periodos de tiempo.

Diagrama de flujo del vendedor del ejemplo 2. l.

o

AAAAAA

123456

p= 12000

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EL DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO

futuro, multiplicando por (1 + i)", o bien, se puede pasar del futuro hacia el presente a su valor equivalente dividiendo entre (1 + i)n.

3. Fórmula básica. A la fórmula 2.1 también se le llama fórmula básica de la ingeniería económica, pues con ella se pueden resolver prácticamente todos los problemas planteados en esta área. De hecho, en muchos ejemplos se demostrará esta aseveración.

El diagrama de flujo de efectivo

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CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

Es sencillo imaginar que el diagrama de flujo para el comprador del mismo ejem- plo es una imagen de espejo de la gráfica. 2.1, ya que el comprador llega a la tienda sin dinero y, una vez hecha la compra, sale del almacén con un artículo con valor de $12000, lo cual se representaría como una flecha hacia arriba; a cambio de eso, va a tener que hacer seis pagos mensuales iguales, lo cual se representaría con flechas hacia abajo. En estos problemas existe un periodo cero que denota el inicio del periodo de análisis, ya que si al final del primer mes se le llama mes 1, al mes anterior se le debe llamar mes Gero o periodo cero.

SOLUCIÓN El ejemplo 2.1 aún no está resuelto, pero ahora ya se cuenta con ele- mentos suficientes para hacerlo. Para resolver casi cualquier problema de ingeniería económica se debe hacer uso del axioma o declaración básica de esta área, el cual dice lo siguiente:

la cantidad de dinero que se debe es igual a la cantidad de dinero que se va a pagar, siempre que ambas cantidades de deuda y pago se comparen a su valor equivalente en el mismo instante de tiempo.

Supóngase que en el mismo ejemplo 2.1 la compra se hace de contado. Obviamente la cantidad de dinero que debe pagarse es $12000, ya que la cantidad de deuda y la cantidad de pago corresponden al mismo instante de tiempo, y no hay necesidad de obtener el valor equivalente de una ellas en otro momento.Ahora supóngase que se hace la misma compra, pero se acuerda pagar toda la deuda un mes después de haberla hecho. Es posible calcular

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