Desigualdades o Inecuaciones de Segundo Grado con valor absoluto

Desigualdades o Inecuaciones de Segundo Grado con valor absoluto.

Ejemplo 1:

|x^2 - 3x - 7| < 3

Esa desigualdad con valor absoluto se transforma en que el valor del interior este comprendido entre -3 y 3

-3 < x^2 - 3x - 7 < 3

Esto son dos desigualdades resolvamos cada una y la intersección de las respuestas será la respuesta.

Primera desigualdad

-3 < x^2 - 3x - 7

0 < x^2 -3x - 4

me gusta más así

x^2 - 3x - 4 > 0

Veamos en que puntos vale 0 eso, que como la función x^2-3x-4 es continua, determinaran intervalos con signo constante para la función en cada uno

x^2 - 3x - 4 = 0

x=3±9+16−−−−−√2=3±52=−1y4

Esto divide la recta real en tres intervalos, veamos en cuales se cumple x^2 - 3x - 4 > 0

en (-oo, -1) tomemos x=-2; (-2)^2 -3(-2) - 4 = 6 >0 sirve

en (-1, 4) tomemos x = 0; 0^2 - 3·0 - 4 =-4 < 0 no sirve

en (4, oo) tememos x=5; 5^2 - 3·5 - 4 = 6 >0 sirve

luego la solución para esta desigualdad es

(-oo, -1) U (4,oo)

SEGUNDA DESIGUALDAD

x^2 - 3x - 7 < 3

x^2 - 3x -10 < 0

resolvemos la ecuación x^2 -3x - 10 = 0

x=3±9+40−−−−−√2=3±72=−2y5

Veamos en que intervalos se cumple x^2 - 3x -10 < 0

En (-oo, -2) tomemos x=-3; (-3)^2 - 3(-3) -10 = 8 > 0 no sirve

En (-2, 5) tomemos x=0; 0^2 - 3·0 - 10 = -10 < 0 sirve

En (5, +oo) tomemos x=6; 6^2 - 3·6 - 10 = 8 > 0 no sirve

Luego la solución de esta inecuación segunda es

(-2, 5)

Y ahora hay que hallar la intersección de las dos soluciones que son

(-oo, -1) U (4, +oo)

(-2, 5)

Y se ve que la solución es

(-2, -1) U (4, 5)

Y eso es todo.

Ejemplo 2:

|x² - 2x + 1| < 2

al ser valor absoluto debe resolver dos casos diferentes

x²-2x+1<2 ; Si X >= 0 y x²-2x+1>-2 ; Si X < 0

x²-2x-1<0 | x²-2x+3>0

(Busco las raíces de ambas ecuaciones cuadráticas mediante el uso de la resolvente)

Para el primer caso:

[−(−2)±v[(−2)²−(4∗1∗−1)]]/2∗1=[2±v[4+4]]/2=[2±v8]/2=[2±2v2]/2=1±v2

Dando como resultado que [x-(1+v2)]*[x-(1-v2)]=0

Para el segundo caso:

X=[−(−2)±v[(−2)²−(4∗1∗3)]]/2∗1=X=[2±v[4−12]]/2=X=[2±v−8]/2=X=[2±iv8]/2=X=[2±2iv2]/2=X=1±iv2

En este caso la respuesta no pertenece al conjunto de los números reales lo que haría al conjunto vacío en R

Por tanto solo se tomaría en cuenta la respuesta del primer caso a la cual se le aplicaría el "método del cementerio" para determinar el conjunto solución entre los intervalos resultantes y la otra se descartaría por su irrelevancia a la hora de unir o intersectar soluciónes que para este caso seria intersección.

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