Matematica Inecuaciones con Valor Absoluto

Universidad de la  Frontera

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica

Cl´ınica de Matem´atica

Inecuaciones con  Valor  Absoluto

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J. Labrin - G.Riquelme

Propiedades de  Valor  Absoluto:

1.  |x · y| = |x| · |y|

3.  |x + y| ≤ |x| + |y|

4.  |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k, k ≥ 0

2.   x   =

  y  

|x|

5.  |x| ≥ k ⇔ x ≤ −k ∨ x ≥ k, k ≥ 0

|y|

1.  Resolver la siguiente inecuacio´n:

|x − 1| ≤ 3

Solucio´n

|x − 1| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x − 1 ≤ 3/ + 1                                por propiedad (4)

⇔ −2 ≤ x ≤ 4

⇒ solucio´n: [−2, 4]

2.  Resolver la inecuacio´n:

|2x + 4| ≥ 6

Solucio´n

|2x + 4| ≥ 6 ⇒ 2x + 4 ≤ −6  ∨ 2x + 4 ≥ 6                                       por propiedad (5)

⇒ x + 2 ≤ −3  ∨ x + 2 ≥ 3                          factorizando y simplificando

⇒ x ≤ −5 ∨  x ≥ 1

Como x es menor o igual que −5 o x es meyor o igual que 1, el conjunto  solucio´n estar´a  dado por la unio´n de estos intervalos (tal y como se aprecia en la Figura 1)

Luego el conjunto solucio´n ser´a: ] − ∞, −5] ∪ [1, ∞[

Figura 4.1:[pic 1][pic 2]

3.  Resuelva:

|x2 + 3| ≥ 5

Solucio´n

|x2 + 3| ≥ 5 ⇒ x2 + 3 ≤ −5  ∨ x2 + 3 ≥ 5                            por propiedad (5)

⇒ x2  ≤ −8  ∨ x2  ≥ 2

⇒ x2  ≤ −8/8  ∨  |x| ≥ √2

⇒ x2 + 8 ≤ 0  ∨  x2  ≥ 2

Observamos que x2  + 8 = 0 no tiene solucio´n en R, es decir su solucio´n es ∅, para el segundo caso se tiene:

x2  ≥ 2 ⇒ |x| ≥ √2 ⇒ x ≤ −√

2

√

∨ x ≥   2

Luego el conjunto solucio´n se observa en la siguiente imagen (Figura 2)[pic 3]

Figura 4.2:

4.  Resuelva la siguiente inecuacio´n:

Solucio´n

  x        

+ 7  ≥ 2

  2        

[pic 4]

  x                      x                      x

  2 +   ≥ 2 ⇒ 2 + 7 ≤ −2 ∨ 2 + 7 ≥ 2                               Por propiedad (5)

7 

x               x

⇒ 2 ≤ −9 ∨ 2 ≥ −5                                      multiplicamos por 2

⇒ x ≤ −18 ∨ x ≥ −10[pic 5]

Figura 4.3:

El conjunto  solucio´n se observa en la figura anterior (Figura 4), de ah´ı podemos asegurar que la solu- cio´n final ser´a:

∴ Sol:] − ∞, −18]  ∪ [−10, ∞[

5.  Resuelve las siguiente ecuaci´on con valor absoluto:

|x − 1| + |4 − 2x| = 4

Solucio´n

Vemos que los valores que anulan el valor absoluto  son x  = 1 y x  = 2, luego debemos resolver la ecuaci´on para los siguientes intervalos:

(−∞, 1)

−x + 1 + 4 − 2x = 4

−3x = −1

1

x =

3

(1, 2)

x − 1 + 4 − 2x = 4

−x = 1

x = −1

Esta solucio´n no pertenece al intervalo, por lo cual se descarta

(2, ∞)

Luego las soluciones son x = 3,  x = 1

3

x − 1 − 4 + 2x = 4

3x = 9

x = 3

6.  Resuelva la siguiente inecuacio´n:

Solucio´n

|x − 1| < 2|x − 3|

Primero que todo elevamos al cuadrado para eliminar el Valor Absoluto, desarrollamos algebraicamente de tal modo que al lado derecho de nuestra inecuacio´n nos resulte 0, tal y como se aprecia a continuacio´n:

Puntos Cr´ıticos:

|x − 1| < 2|x − 3|/()2     ⇒  (x − 1)2  < 4(x − 3)2

⇒  x2 − 2x + 1 < 4(x2  − 6x + 9)

⇒  x2 − 2x + 1 < 4x2 − 24x + 36

⇒  3x2 − 22x + 35 > 0

⇒  (3x − 7)(x − 5) > 0

3x − 7 = 0 ⇒ x = 3                                                    x − 5 = 0 ⇒ x = 5

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Como nuestro ejercicio es mayor a cero, las soluciones a encontrar son todas aquellas positivas, para ello realizamos el siguiente cuadro:

Intervalos    −∞, −4   −4, 3

2

2

3 , ∞

3x − 7           −        +      +

x − 5            −        −      +

Resultado         +        −      +

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