Desigualdades Con Valor Absoluto

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Antes de abordar este tema debemos de recordar que el valor absoluto de un numero a y que se denota como | a | es la distancia desde a , hasta cero sobre la recta de los números reales, la distancia es siempre positiva o cero, de modo que si tenemos | a | ,para cada numero a ,se debe tener en cuenta que -a , es positiva cuando a ,es negativa . De acuerdo a lo anterior se puede tener la definición para el valor absoluto:

Si a , es un número real, entonces el valor absoluto de a :

Entonces | a | = a → si a≥0

y | a | = -a → si a<0

Ejemplos: determine el valor absoluto de los siguientes números:

| 5|= 5

| -3/7 |=-(-3/7 )= 3/7

ACTIVIDAD HALLA EL VALOR ABSOLUTO DE LOS SIGUIENTES NUMEROS

| -4| , | -5+3/6| , | 0| , | 3-π|= e , | e-π| , | e-3|

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

ANALIZA COMO SE HALLO LA SIGUIENTE DISTANCIA APLICANDO PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO :

Actividad : cual es la distancia numérica entre los números -13/8 y -17/6 ….y -23/3 y 19/8 , realizar graficas

PARA HALLAR EL CONJUNTO SOLUCION DE DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO ,UTILIZARESMOS LAS SIGUIENTE PROPIEDADES

Ejemplo: halla el valor absoluto de la siguiente desigualdad con valor absoluto, grafique la solución y compruebe su solución: |3-x| ≤ 2

, aplicando la propiedad dos, Veamos:

-2 ≤3-x≤ 2 → , de acá para adelante, soluciona esto como una desigualdad condicional y halle sus soluciones y compruébalas.

-2 ≤3-x 3-x≤ 2

Pasamos a –x , al primer miembro de la desigualdad con signo contrario y -2 al segundo miembro de la desigualdad con signo contrario Pasamos a 3, al segundo miembro de la desigualdad con signo contrario

x≤3+2 -x≤ 2-3

Aplicamos propiedades de la suma en el segundo miembro de la desigualdad

x≤5 -x≤ -1

Multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por -1 para que la x ,quede positiva en el primer miembro de la desigualdad

x≤5 x≥ 1

Debemos de hallar la intersección de estos dos intervalos para hallar su solución ,lo mejor es graficarlos para detallar bien su intersección

Al interceptar los dos intervalos hallamos el conjunto solución , es decir:

s=[1,5]

s{x/1≤x≤5}}

Debemos comprobar esta solución encontrando una verdad y dos falsedades, veamos:

Si x=-1 ,esperamos una falsedad ,→ |3-x| ≤ 2 , si remplazamos por x=-1 , → |3-(-1)| ≤ 2 , → |3+1| ≤ 2 , → |4| ≤ 2 , por propiedades del valor absoluto, → 4 ≤ 2 , que es una falsedad, lo que esperábamos.

Si x=4 ,esperamos una verdad ,→ |3-x| ≤ 2 , si remplazamos por x=4 , → |3-4| ≤ 2 , → |-1| ≤ 2 , por propiedades del valor absoluto, → 1 ≤ 2 , que es una verdad, lo que esperábamos.

Si x=6 ,esperamos una falsedad ,→ |3-x| ≤ 2 , si remplazamos por x=6 , → |3-6| ≤ 2 , → |-3| ≤ 2 , por propiedades del valor absoluto, → 3≤ 2 , que es una falsedad, lo que esperábamos.

Ejemplo: halla el valor absoluto de la siguiente desigualdad con valor absoluto, grafique la solución y compruebe su solución: |3-x| ≥ 2

, aplicando la propiedad cuatro, Veamos:

3-x≤ - 2 v 2 ≤3-x → , de acá para adelante, soluciona esto como una desigualdad condicional y halle sus soluciones y compruébalas.

\/ : símbolo de la disyunción ("o")

Resuelve estas dos desigualdades y las, este será el conjunto solución, luego comprueba su resultado, veamos:

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