Distribucion Hipergeometrica

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

La distribución hipergeométrica está relacionada con la distribución binomial. En tanto que la distribución binomial es el modelo de la probabilidad aproximada de muestreo sin reemplazo de una población dicotómica finita (E-F), la distribución hipergeométrica es el modelo de probabilidad exacta del número de éxitos € en la muestra. La variable binomial X es el número de éxitos cuando el número de n ensayos es fijo, mientras que en la distribución binomial surge de fijar el número de éxitos deseados de permitir que el número de ensayos sea aleatorio.

Las suposiciones que conducen a la distribución hipergeométrica son las siguientes:

La población o conjunto que se va a muestrear se compone de N individuos, objetos, elementos (una población finita).

Cada individuo puede ser caracterizado como éxito € o falla (F) y hay M éxitos en la población.

Se selecciona una muestra de n individuos sin reemplazo de tal modo que cada subconjunto de tamaño n es igualmente probable de ser seleccionado.

La variable aleatoria de interés es X=el número de éxitos en la muestra. La distribución de probabilidad de X depende de los parámetros n, M y N, así que se desea obtener P(X=x) = h(x; n, M, N).

Ejemplo:

Durante un periodo particular una oficina de tecnología de la información de una universidad recibió 20 solicitudes de servicio de problemas con impresoras, de las cuales 8 eran impresoras láser y 12 eran modelos de inyección de tinta. Se tiene que seleccionar una muestra de 5 de esta solicitudes de servicio completamente al azar, de modo que cualquier otro subconjunto (piense en escribir los números 1, 2,…, 20 en 20 papelitos idénticos, mezclarlos y seleccionar 5 de ellos). ¿Cuál es entonces la probabilidad de que exactamente x(x=0,1 2, 3, 4, o 5) de las solicitudes de servicio fueran para impresoras de inyección de tinta?

En este caso el tamaño de la población es N=20, el tamaño de la muestra es n=5 y el número de éxitos (inyección de tinta = E) y las fallas (F) en la población son M=12 y N-M=8, respectivamente. Considérese el valor x=2. Como todos los resultados (cada uno consta de 5 solicitudes particulares) son igualmente probable.

P(X=2)=h(2;5,12,20)=(número de resultados con X=2)/(número de posibles resultados)

El número de posibles resultados en el experimento es el número de formas de seleccionar 5 de los 20 objetos sin importar el orden, es decir, (20¦5). Para contar el número de resultados con X=2, obsérvese que existen (12¦2)formas de seleccionar 2 de las solicitudes para impresora de inyección de tinta, y por cada forma existen (8¦3)formas de seleccionar las 3 solicitudes para impresoras láser a fin de completar la muestra. Entonces (12¦2)(8¦3)será el resultado con X=2, por lo tanto

h(2; 5,12 ,20)=(12¦2)(8¦3)/((20¦5) )=77/323=0.238

En general, si el tamaño de la muestra n es más pequeño que el número de éxitos en la población (M), entonces el valor de X más grande posible

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