ECUACIONES CUADRATICAS Y DESIGUALES

JHONATAN MENDOZA LOPEZ

ECUACIONES CUADRATICAS Y DESIGUALES

ING. KARINA SOTO SILVA

 SANTA LUCIA DEL CAMINO, 04 DE ABLIL DEL 2016

INTRODUCCION

INDICE

• ECUACIONES CUADRATICAS

1. Factorización Simple 
2. Completando el Cuadrado 
3. Fórmula Cuadrática 

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.
  
 Ejemplo:

9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10 
  
 Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 
 

1. Factorización Simple 
2. Completando el Cuadrado 
3. Fórmula Cuadrática 
  
 Factorización Simple:

 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. 
  
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8 
 

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2] 

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

[pic 4]                                                                    4 · -2 = -8  

x + 4 = 0       x – 2 = 0 
x + 4 = 0      x – 2 = 0 
x = 0 – 4      x = 0 + 2 
x = -4           x = 2                  

Estas son las dos soluciones. 
  

Completando el Cuadrado:

  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. 
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 
  
 

x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1. 
 

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.] 
x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos] 
  
  
 

x2  + 2x + 1 = 9

(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar. 
                                 Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. 
 

Para eliminar el exponente, hay que colocar raíz cuadrada.

Ej : x2 = 9

       X =  [pic 5]

       X = [pic 6]

x + 1 =  ± 3

x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3       x = -1 – 3 
x = 2               x = -4 

Fórmula Cuadrática:

 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: 
  
  

[pic 8]

                                                                  Ejemplo:

                                               X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8 
    

[pic 9]

x = -2 ± 6 
          2

X =  -2 + 6     x = -2 - 6 
           2                  2 
 

   x = 4          x = -8 
        2                  2

x = 2      x = - 4 

ECUACIONES DESIGUALES

LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:

 1._Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva)

      Si a < b y b < c, entonces a < c  

 2._Si a > b, entonces (a ± c) > (b ± c)

      Si a < b, entonces (a ± c) < (b ± c).

 3._Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

      Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

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