ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI[pic 1]

GRUPO #5

Integrantes:

Alcívar Mera Marcos

Aguirre Albia Ronald

Bravo Rivera Juan Pablo

Bowen Mario

TEMA:

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

FORMAS TRIGONOMETRICAS

TEOREMA DE MOIVRE

VECTORES

Ecuaciones trigonométricas

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

Ejemplos

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

1[pic 2]

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2[pic 7]

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Transformamos la suma en producto

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Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.

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Forma trigonométrica de los números complejos

A excepción de 0, cualquier número complejo se puede representar en la forma trigonométrica o en coordenadas polares: 

Donde α [pic 23]Arg (z). R, el módulo, o el valor absoluto de z, es fácil de encontrar:

Pero, ¿cómo encontrar α? Como sabemos, α no es único, pero es encontrado módulo 2π. El principal valor, arg (z) pertenece al intervalo [0, 2π). Supongamos, z = x + yi. Entonces α es el ángulo formado con la x eje por el radio vector del punto (x, y) o el punto donde éste se cruza el círculo unitario, es decir.,

Al parecer, α se puede encontrar en

Si bien esto es correcto, en gran medida, se debe tener precaución. Obviamente, (1) no funciona para x = 0. X = 0 es claramente un caso excepcional, pero incluso en ese caso nos enfrentamos a dos alternativas de asignar a arg (z) sea π / 2 o 3π / 2. La elección depende en el signo de y. (Para y = 0, z = 0 y, como sabemos, 0 es el único número complejo no está asociada con ningún argumento.)

En igual sentido debe ser ejercida en el caso general (1) , donde x ≠ 0. Desde tan () es periódica con período π y el intervalo de base (-π / 2, π / 2), tendremos que dar cuenta los signos de x y y.

En los cuadrantes I y III, tan (t) es positiva. En los cuadrantes II y IV, tan (t) <0. En el cuadrante I, arg (z) = arctan (y / x). Pero, por el cuadrante III, lo positivo arctan (y / x) debe ser actualizado con la adición de π. Del mismo modo, para z en el cuadrante II, arctan (y / x) es negativa. Para ponerla al segundo cuadrante hay que añadir π. Para z en el cuarto cuadrante, arctan (y / x) es de nuevo negativo, pero su ubicación es correcta. Para mantenerlo allí, ahora tenemos que añadir 2π, por lo que el valor cae en el intervalo [0, 2π). En resumen, denotan α 0 = tan (y / x). Entonces

o en una forma más corta,

Ejemplo

Vamos a ver todas las raíces de la tercera w = 8 - 8i. En la forma trigonométrica, w = 8 (cos (3π / 4) + i · sen (3π / 4)) Por lo tanto tenemos tres raíces distintas:

Recordando que π = 180 º, tenemos las tres raíces de una forma un poco diferente:

Todos los espaciados uniformemente alrededor del origen.

Fórmula de De Moivre

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

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Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Obtención

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

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aplicando leyes de la exponenciación

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Entonces, por la fórmula de Euler,

[pic 27].

Derivaciones

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

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Si hacemos que x = π entonces tenemos la fórmula de Euler:

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Es decir:

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Además como tenemos estas dos igualdades:

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podemos deducir lo siguiente:

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Demostración por inducción

Consideramos tres casos.

Para n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

...