ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Enviado por ronal0592 • 1 de Octubre de 2015 • Trabajos • 2.072 Palabras (9 Páginas) • 91 Visitas
UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI[pic 1]
GRUPO #5
Integrantes:
Alcívar Mera Marcos
Aguirre Albia Ronald
Bravo Rivera Juan Pablo
Bowen Mario
TEMA:
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
FORMAS TRIGONOMETRICAS
TEOREMA DE MOIVRE
VECTORES
Ecuaciones trigonométricas
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.
Ejemplos
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1[pic 2]
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2[pic 7]
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Transformamos la suma en producto
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Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.
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Forma trigonométrica de los números complejos
A excepción de 0, cualquier número complejo se puede representar en la forma trigonométrica o en coordenadas polares:
z = r (cosα + i · sena), |
Donde α [pic 23]Arg (z). R, el módulo, o el valor absoluto de z, es fácil de encontrar:
| X + iy | = √ x ² + y ². |
Pero, ¿cómo encontrar α? Como sabemos, α no es único, pero es encontrado módulo 2π. El principal valor, arg (z) pertenece al intervalo [0, 2π). Supongamos, z = x + yi. Entonces α es el ángulo formado con la x eje por el radio vector del punto (x, y) o el punto donde éste se cruza el círculo unitario, es decir.,
z / | z | = cosα + i · sena. |
Al parecer, α se puede encontrar en
(1) | tanα = y / x. |
Si bien esto es correcto, en gran medida, se debe tener precaución. Obviamente, (1) no funciona para x = 0. X = 0 es claramente un caso excepcional, pero incluso en ese caso nos enfrentamos a dos alternativas de asignar a arg (z) sea π / 2 o 3π / 2. La elección depende en el signo de y. (Para y = 0, z = 0 y, como sabemos, 0 es el único número complejo no está asociada con ningún argumento.)
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En igual sentido debe ser ejercida en el caso general (1) , donde x ≠ 0. Desde tan () es periódica con período π y el intervalo de base (-π / 2, π / 2), tendremos que dar cuenta los signos de x y y.
En los cuadrantes I y III, tan (t) es positiva. En los cuadrantes II y IV, tan (t) <0. En el cuadrante I, arg (z) = arctan (y / x). Pero, por el cuadrante III, lo positivo arctan (y / x) debe ser actualizado con la adición de π. Del mismo modo, para z en el cuadrante II, arctan (y / x) es negativa. Para ponerla al segundo cuadrante hay que añadir π. Para z en el cuarto cuadrante, arctan (y / x) es de nuevo negativo, pero su ubicación es correcta. Para mantenerlo allí, ahora tenemos que añadir 2π, por lo que el valor cae en el intervalo [0, 2π). En resumen, denotan α 0 = tan (y / x). Entonces
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o en una forma más corta,
|
Ejemplo
Vamos a ver todas las raíces de la tercera w = 8 - 8i. En la forma trigonométrica, w = 8 (cos (3π / 4) + i · sen (3π / 4)) Por lo tanto tenemos tres raíces distintas:
2 (cos (π / 4) + i · sin (π / 4)), |
Recordando que π = 180 º, tenemos las tres raíces de una forma un poco diferente:
2 (cos (45 °) + i · sen (45 °)), |
Todos los espaciados uniformemente alrededor del origen.
Fórmula de De Moivre
La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:
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Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.
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