EDO Homogeneas
Enviado por HENRY JUNIOR GUERRERO TORRES • 12 de Julio de 2022 • Informes • 787 Palabras (4 Páginas) • 78 Visitas
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INDICE
Introducción3
Definición del método 4
Explicación de manera general 5
Ejemplos 7
Forma General 7
Forma Normal 9
Forma Diferencial11
Referencias13
INTRODUCCION
Una ecuación diferencial es aquella que relaciona las variables independientes con la variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales son una herramienta fundamental en el estudio de las matemáticas, ya que sirven para representar modelos matemáticos que son adecuados para muchos experimentos y fenómenos que se representan en diversas áreas como: biología, química, física, ingeniería, medicina, entre otras.
Una ecuación diferencial que contiene únicamente derivadas ordinarias de una función desconocida es llamada una ecuación diferencial ordinaria (EDO).
En este informe presentamos soluciones a ecuaciones diferenciales homogéneas en sus diferentes formas; general, normal y diferencial. Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.
- Definición del método
EDO Homogéneas
Son de la forma
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Función de variables homogéneas:
Para que sea homogénea, tiene que cumplir[pic 7]
[pic 8]
Entonces la función es homogénea de grado “n”[pic 9]
Por ejemplo:
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[pic 11]
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Entonces es homogénea de grado 2.[pic 15]
EDO 1° orden Homogénea
Se tiene
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La EDO es homogénea cuando las funciones y son homogéneas del mismo grado.[pic 17][pic 18]
- Explicación de manera general
Después de comprobar que sea homogénea se deduce lo siguiente:
[pic 19]
[pic 20]
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Al ser homogéneas, podremos definir a ; siendo el grado de “0”.[pic 22][pic 23]
Entonces
tiene grado “0”[pic 24][pic 25]
De acuerdo con lo anterior
[pic 26]
Se puede expresar
[pic 27]
Entonces [pic 28]
Podemos definir a “t” como cualquier numero
Para resolver la EDO Homogénea podemos llamar a remplazamos en [pic 29]
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Por otro lado, hacemos un cambio de variable
[pic 33]
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Derivamos
[pic 35]
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Igualamos (I) y (II) en: [pic 37]
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Gracias al cambio de variable se puede hacer el método “variables separables”
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Despejamos
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Gracias a este resultado, cuando se pida hallar la solución de una EDO Homogénea, simplemente se puede reemplazar en la igualdad encontrada, de esta forma ya se podría integrar ambas variables para después encontrar la solución y remplazar “u” por “y/x”.
3.EJEMPLOS
FORMA GENERAL
Hallar la solución de:
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Paso 1: Verificamos si es homogénea
Expresamos la EDO en su forma diferencial
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Verificamos si es homogénea
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