EJERCICIOS SESIÓN N° 12: TEORÍA DELCONTROL ÓPTIMO
Enviado por VICTOR LUIS RODRIGUEZ TACO • 14 de Julio de 2022 • Apuntes • 360 Palabras (2 Páginas) • 35 Visitas
MATEMÁTICAS III[pic 1]
Francisco Marhuenda
EJERCICIOS SESIÓN N° 12: TEORÍA DELCONTROL ÓPTIMO 1
- Resuelva el problema siguiente
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
libre[pic 5]
Solución: El Hamiltoniano es
[pic 6]
que es cóncavo en . Buscamos que maximiza H. La condición de primer orden es[pic 7][pic 8]
[pic 9]
Obtenemos
[pic 10]
Y, utilizando la ecuación de evolución tenemos que[pic 11]
[pic 12]
Por otra parte,
[pic 13]
Es decir y satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales[pic 14][pic 15]
[pic 16]
Derivando la ecuación (1) y sustituyendo de la ecuación (2), obtenemos[pic 17]
[pic 18]
Y ahora sustituimos de la ecuación (1)[pic 19]
[pic 20]
La ecuación característica de la ODE
[pic 21]
Es
[pic 22]
Las raíces son , . La solución general es [pic 23][pic 24]
[pic 25]
De (1) obtenemos
[pic 26]
Para determinar las constantes , usamos que ,[pic 27][pic 28][pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
La segunda ecuación se puede escribir como
[pic 32]
Obtenemos,
[pic 33]
Como el Hamiltoniano es cóncavo en , la solución encontrada es el máximo global.[pic 34]
- Resuelva el problema siguiente
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
libre[pic 38]
Solución: El Hamiltoniano es
[pic 39]
que es cóncavo en . Buscamos que maximiza H. La condición de primer orden es[pic 40][pic 41]
[pic 42]
Obtenemos
[pic 43]
Por otra parte,
[pic 44]
Obtenemos para una cierta constante . Como es libre, tenemos la condición terminal . Obtenemos . Por lo tanto,[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
Y, utilizando la ecuación de evolución
[pic 52]
tenemos que
[pic 53]
para una cierta constante . [pic 54]
Como el Hamiltoniano es cóncavo en , la solución encontrada es el máximo global. La condición inicial , impica que[pic 55][pic 56]
...