Guia teorica espacio vectorial
Roberto Antonio Millan GonzalesTrabajo1 de Mayo de 2016
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MATEMATICAS III. ESPACIO VECTORIAL
Espacio Vectorial: R3 como un Espacio Vectorial.
Nociones básicas:
- Dados dos puntos P(p1,p2,p3) y Q(q1,q2,q3)son puntos del espacio 3, el segmento orientado tiene por punto inicial a P y por punto final a Q y denotamos su longitud mediante: .[pic 1][pic 2][pic 3]
- Dos segmentos orientados de la misma longitud se llama equivalentes.
- El conjunto de todos los segmentos orientados que son equivalentes a uno dado lo llamamos vector del espacio y lo escribimos .[pic 4]
- Componente de un vector: si es un vector en el espacio cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es , entonces el vector en forma de componente viene dado por: .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
- El vector tiene como punto inicial y final el mismo punto .[pic 9][pic 10]
- Dado dos vectores ; se dice que son iguales si y solo si: . Si dado los dos vectores ; pertenecientes a 3; α pertenece a (α: escalar), se define:[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
- El vector suma: [pic 18]
- El producto de un escalar por un vector: .[pic 19]
Espacio Vectorial. Def.: Un Espacio Vectorial , es un conjunto de objetos llamados vectores junto con dos operadores llamados suma y multiplicación por un escalar que satisfacen ciertas propiedades:[pic 20]
- Si y , entonces (V es cerrado para la suma).[pic 21][pic 22][pic 23]
- , entonces (ley asociativa).[pic 24][pic 25]
- Si , entonces (ley conmutativa).[pic 26][pic 27]
- Existe un vector en V tal que , (elemento neutro).[pic 28][pic 29][pic 30]
- Si , existe un vector ; tal que (existencia del elemento inverso).[pic 31][pic 32][pic 33]
- Si ; y α es un escalar, α (V es cerrado para la multiplicación).[pic 34][pic 35]
- Si y si α es un escalar, entonces: α (primera ley distributiva).[pic 36][pic 37]
- Si ; y si α y β son escalares, entonces: (segunda ley distributiva).[pic 38][pic 39]
- Si ; y si α y β son escalares, entonces: (ley asociativa de la multiplicación por escalar).[pic 40][pic 41]
- , (al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).[pic 42][pic 43]
Combinación Lineal: Sea una familia o conjunto de vectores del espacio vectorial (), entendemos por Combinación Lineal de la familia de toda suma de productos escalares arbitrarios de por los vectores de , esto es; ; y .[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]
Si el vector (conjunto de vectores del espacio vectorial) es Combinación Lineal de la familia si y solo si existen escalares tal que .[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]
Dependencia E Independencia Vectorial: Sean un conjunto de vectores en un espacio vectorial , decimos que el conjunto es Linealmente Independiente si y solo si la única combinación lineal da como resultado el vector nulo, . Esto quiere decir que existen escalares perteneciente a , tal que: donde los , esto es: , , . Si algunos de los escalares da como resultado diferente de cero esto quiere decir que el conjunto es Linealmente Dependiente; cuando todos los son iguales a cero es Linealmente Independiente.[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]
Nota: Los vectores básicos son Linealmente Independiente. Estos vectores son: .[pic 67]
Criterio para determinar si tres vectores pertenecientes a 3 son Linealmente Independiente o Linealmente Dependiente: Dado tres vectores ; ; , se tiene la matriz:[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]
[pic 72]
Entonces los vectores son:[pic 73]
- Linealmente Independiente si y solo si el DetA es diferente de cero.
- Linealmente Dependiente si y solo si el DetA es igual a cero.
Base de un Espacio Vectorial: Sea un espacio vectorial y , un conjunto Linealmente Independiente, diremos que es una Base para , si todo vector en puede escribirse de manera única como combinación lineal de los vectores de . Los vectores es una base para R3.[pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]
Nota: Coordenadas de un vector en una base dada: , donde .[pic 81][pic 82]
Dimensión de Espacio Vectorial: Un espacio vectorial es de dimensión N si tiene una base de N vectores que son Linealmente Independiente.
PRODUCTO ESCALAR (PUNTO O INTERNO) CON LA NORMA EUCLIDIANA: Def.: El producto canónico entre dos vectores de 3 se define de la siguiente manera, si y , entonces: .[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]
Propiedades del Producto Escalar: Sean vectores en un espacio vectorial y α es un escalar en :[pic 87][pic 88]
- .[pic 89]
- .[pic 90]
- .[pic 91]
- .[pic 92]
- , si .[pic 93][pic 94]
- , si .[pic 95][pic 96]
- .[pic 97]
Norma de un vector: La magnitud, longitud, modulo o norma denotada en un espacio vectorial, se define como el número no negativo: . Si , entonces la norma del vector sería [pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]
Vector unitario : Cualquier vector puede dar lugar a un vector unitario multiplicándolo por el reciproco de su norma o magnitud: , . Este vector unitario esta en la misma dirección del vector .[pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110]
Propiedades de la Norma en 3: Sean vectores en 3 y un escalar en , entonces:[pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]
- , si .[pic 116][pic 117][pic 118]
- [pic 119]
- [pic 120]
- Desigualdad de Cauchy-Schwars.[pic 121]
- Desigualdad Triangular.[pic 122]
Angulo entre dos vectores: Sean los vectores y θ el ángulo entre dos estos vectores.[pic 124][pic 123]
Ortogonalidad: Si dado dos vectores se dice que son ortogonales o perpendiculares si el producto escalar de ellos es igual a cero. ó si y solo si .[pic 125][pic 126][pic 127][pic 128]
Cosenos directores: Sea el vector perteneciente a 3 y los vectores básicos , entonces , de aquí:[pic 133][pic 129][pic 130][pic 131][pic 132]
Donde α, β, γ son los ángulos en dirección de [pic 134]
Componentes de un vector: Sea y vectores no nulos y donde es paralelo a y es ortogonal a .[pic 142][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141]
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